Csoportok és más algebrai struktúrák = Groups and other algebraic structures

摘要

Az absztrakt algebra egyes részterületein (a csoportelméletben, az invariánsok elméletében, a gyűrűelméletben, a Lie-algebrák elméletében, a hurkok [""loop""-ok] elméletében és az univerzális algebrában) végeztünk kutatásokat. Eredményeinkről 58 dolgozatban és egy könyvben számoltunk be. Több publikációnk vezető matematikai folyóiratokban (Annals of Mathematics, Journal of the European Mathematical Society, Journal of Algebra, Journal of Group Theory, Journal of Algebraic Combinatorics, Proceedings of the American Mathematical Society stb.) jelent meg. Számos eredményünk közül itt (1) a Lie-típusú egyszerű csoportok növekedési függvényéről szólót (Pyber László és Szabó Endre), (2) a 3x3-as valós szimmetrikus mátrixok diszkriminánsának 5 négyzet összegeként való felírását (Domokos Mátyás), és (3) a felső háromszögmátrixok csoportjának konjugáltosztályszámára vonatkozó Higman-sejtéssel kapcsolatosat (Halasi Zoltán és Pálfy Péter Pál) emeljük ki. Az (1) eredményt velünk egyidőben Breuillard, Green és Tao is bebizonyították. Ennek jelentős következményei vannak az expander gráfok területén is. A (2) eredmény Kummer több mint másfél évszázados tételét erősíti, eddig csak 7 négyzet összegeként való felírás volt ismert. A (3) eredmény a Higman-sejtés egy általánosítását cáfolja, ezáltal kétségessé téve az eredeti sejtés érvényét is. A kutatásokba három tehetséges fiatal kutatót is sikerült bekapcsolnunk az OTKA támogatásával. | We have conducted research in various subfields of abstract algebra (in group theory, in the theory of invariants, in ring theory, in the theory of Lie algebras, in the theory of loops, and in universal algebra). Members of the research team published 58 papers and a book. Many of our publications appeared in leading mathematical periodicals (Annals of Mathematics, Journal of the European Mathematical Society, Journal of Algebra, Journal of Group Theory, Journal of Algebraic Combinatorics, Proceedings of the American Mathematical Society, etc.). We just mention here our three most important results: (1) on the growth in simple groups of Lie type (L. Pyber and E. Szabó); (2) decomposing the discriminant of a 3x3 real symmetric matrix into the sum of 5 squares (M. Domokos); (3) a result concerning a generalization of Higman's conjecture on the number of conjugacy classes in the group of upper unitriangular matrices (Z. Halasi and P. P. Pálfy). Result (1) has been obtained simultaneously by Breuillard, Green, and Tao; it has important implications for expander graphs. Result (2) improves upon a result of Kummer from the middle of nineteenth century; up till now only a decomposition into 7 squares has been known. Result (3) refutes a generalization of Higman's conjecture, hence making the validity of the original conjecture doubtful. The support of OTKA made it possible to employ three talented young researchers as well.