En [12] (ver también [19]) se probó que existe una dualidad entre la categoría de los reticulados distributivos acotados y homomorfismos superiores y la categoría de los espacios de Priestley y las relaciones de Priestley. En este trabajo, los reticulados distributivos acotados asociados con un homomorfismo superior son considerados como álgebras que se denominan reticulados modales . En este trabajo caracterizamos el reticulado de congruencias de los reticulados modales en términos de la dualidad mencionada y ciertos subconjuntos cerrados de los espacios de Priestley. Esto nos permite caracterizar los reticulados simples y subdirectamente irreducibles. Por medio de esta caracterización hacemos un estudio detallado de la variedad generada por los reticulados modales totalmente ordenados. Más precisamente, encontramos para cada subvariedad de esta variedad, un conjunto de ecuaciones que determinan dicha subvariedad. En la segunda parte de este trabajo introducimos la noción de cuantificador sobre álgebras de De Morgan. Un álgebra de De Morgan asociada con un cuantificador se denomina álgebra de De Morgan monádica. Usamos los resultados obtenidos en la primera parte para caracterizar el reticulado de conguencias de las álgebras de De Morgan monádicas y caracterizamos las álgebras de De Morgan monádicas simples y subdirectamente irreducibles. También damos una construcción del espacio de De Morgan de las álgebras de De Morgan monádicas libres. En la tercer parte de este trabajo extendemos la dualidad obtenida en [12] y obtenemos una dualidad para funciones monótonas entre reticulados distributivos acotados. Finalmente, damos en el apéndice una dualidad para conjuntos parcialmente ordenados.
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