High order semi-Lagrangian methods for BGK-type models in the kinetic theory of rarefied gases

摘要

In questa tesi vengono sviluppati e studiati schemi semilagrangiani innovativi di alto ordine per la soluzione numerica di equazioni cinetiche di tipo BGK, che descrivono il comportamento di un gas rarefatto. Si tratta di equazioni alle derivate parziali per l'evoluzione della funzione di distribuzione di un gas nello spazio delle fasi. I metodi di tipo semilagrangiano permettono di ricondurre il problema alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie nella variabile temporale, in quanto l'evoluzione nello spazio avviene lungo le linee caratteristiche. Vengono proposti sostanziali miglioramenti dei metodi semi-Lagrangiani esistenti in letteratura per l'equazione BGK, insieme con alcune nuove applicazioni. Inizialmente si è cercato di ridurre il costo computazionale, dovuto principalmente alle tecniche di interpolazione. A questo scopo sono stati sviluppati metodi multi-step di tipo BDF (Backward Differentiation Formula) in alternativa a metodi di tipo Runge Kutta DIRK. Inoltre sono stati proposti e studiati particolari schemi semi-Lagrangiani che evitano completamente l'interpolazione spaziale. Nella tesi vengono sviluppati e studiati metodi numerici di ordine 1,2,3 per l'equazione BGK 1D in velocità. Mediante l'uso della riduzione di Chu, tali metodi sono stati estesi a domini fisici più realistici, 3D in velocità. Per i problemi ai limiti, sono state proposte tecniche originali per il trattamento di condizioni al contorno riflessive e diffusive. Infine, i metodi sono stati estesi a modelli cinetici di tipo BGK per miscele di gas inerti e reattive.