Ein funktionaler Kernschätzer mit verallgemeinerter Bandbreite

摘要

Ausgehend von der Bedeutung der Hazardrate und deren Schätzung in klinischen Über- lebenszeitstudien beschäftigte sich die vorliegende Arbeit allgemein mit der nichtparame- trischen Kernschätzung von Funktionalen. Es konnte eine Formulierung entwickelt werden, welche die Hazardraten- und die Dichteschätzung für unzensierte und (rechts-)zensierte Be- obachtungen umfasst. Die Bandbreite wurde dabei so allgemein formuliert, dass sie die fixe und verschiedene variable daten-adaptive Bandbreitendefinitionen, wie zum Beispiel die der nächste-Nachbarn Bandbreite, enthält. Für diesen neuen Funktionalschätzer mit verallgemeinerter Bandbreitendefinition wurde die Konsistenz im Sinne der fast sicheren Konvergenz bezüglich der L1-Norm gezeigt. Das Thema der Bandbreitenwahl unterteilte sich nach den Prinzipien der Optimalität bezüg- lich der L1-Norm Konvergenz und der Praktikabilität. Die Konvergenz hatte eine optimale Bandbreitenwahl mit Plug-in Verfahren zur Folge wohingegen sich als schnell mögliche ob- jektive Bandbreitenwahl eine etablierte Daumenregel für die fixe Bandbreitenwahl bei der Dichteschätzung auf den verallgemeinerten Schätzer sinnvollübertrug. Es wurden die Spezifikationen der Dichteschätzung mit fixer Bandbreite ohne Zensierung und die der Hazardratenschätzung mit variabler nächste-Nachbarn Bandbreite bei einer (Rechts-)Zensierung untersucht. Als Implikation der asymptotisch optimalen Bandbreitenwahl stellte sich bei der Dich- teschätzung heraus, dass die Konvergenzraten für Bias und Varianz eine andere Balancierung erfahren als bei der Bandbreitenwahl, die den zu erwartenden integrierten quadratischen Feh- ler asymptotisch minimiert. Der Bias muss für die Bandbreitenwahl, die den gleichmäßigen Verlust asymptotisch minimiert, schneller gegen Null gehen als für die das integrierte qua- dratische Risiko minimierende. Die Anwendung auf die Hazardratenschätzung bei zensierten Daten wurde anhand eines bio- metrischen Beispiels und einer umfangreichen Simulationsstudie untersucht. Hierbei stellte sich die als Spezifikation aus der allgemeinen Daumenregel resultierende Daumenregel zur Wahl der Anzahl nächster Nachbarn als praktikable Bandbreitenwahl dar. Die Vorteile im Vergleich zur optimalen Bandbreitenwahl bezüglich des gleichmäßig absoluten Fehlers lagen in der Einfachheit der Darstellung und der Schätzung sowie in der wesentlich schnelleren computer-technischen Ermittelbarkeit, da bei ihr im Gegensatz zur optimalen Bandbrei- tenwahl keine Plug-in Schätzungen benötigt werden. Die Daumenregel konnte sich auch gegen eine weitere optimale und rechenintensive Bandbreitenwahl, bei der asymptotisch das Kullback-Leibler Risiko minimiert wird, behaupten, in dem Sinne, dass die Ergebnisse bei der Verzerrung gleich gut waren, allerdings die Variabilität, die als Nachteil der Kreuz- Validierungs Bandbreitenwahlen bekannt ist, stark verringert wird.