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Nouveaux aspects combinatoires de théorie des noeuds et des noeuds virtuels

机译:节点和虚拟节点理论的新组合

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摘要

Un nœud est un plongement du cercle dans une variété de dimension 3. Dans la sphère S3 , les nœuds peuvent être codés combinatoirement par des diagrammes de Gauss. Ceux-ci peuvent être étudiés indépendamment, en oubliant les véritables nœuds: c'est ce qu'on appelle la théorie des nœuds virtuels. En première partie nous définissons une version générale de nœuds virtuels, dépendant d'un groupeud G muni d'un morphisme à valeurs dans Z/2. Lorsque ces paramètres sont bien choisis, la théorie obtenue généralise les nœuds dans une surface épaissie quelconqueud (c'est-à-dire un fibré en droites réelles sur une surface). Outre l'encodage des nœuds, les diagrammes de Gauss sont aussi un outil puissant pour décrire les invariants de type fini de Vassiliev. En seconde partie, nous donnons un ensemble complet de critères pour détecter ces invariants. Notamment, le critère d'invariance sousud Reidemeister III est une réponse positive à une conjecture de M.Polyak. Parmi les exemples donnés figure une nouvelle preuve et une généralisation du théorème de Grishanov-Vassiliev sur les invariants par chaînes planaires. La troisième partie est une ébauche de plan visant à trouver un algorithme pour décider si un diagramme donné dans l'anneau R × S1 représente une tresse fermée dans le tore solide, à isotopie près. La première étape est franchie, consistant à trouver un critère reconnaissant les diagrammes de Gauss des tresses fermées.udNous conjecturons que ce critère suffit pour les diagrammes à nombre minimal de croisements, et proposons des pistes dans cet objectif. La dernière partie est un travail commun avec T.Fiedler, explorant les propriétés d'objets non génériques liés à l'espace de toutes les immersions du cercle dans R3. Cet espace est de dimension infinie, stratifié par le degré de non généricité des immersions. Alors que la théorie de Vassiliev se cantonne à l'étude des strates contenant uniquement des points doubles ordinaires, ici nous interdisons ces points doubles et autorisons uniquement un certain type de points triples. Nous montronsud que l'espace qui en résulte n'est pas simplement connexe en exhibant un 1-cocycle non trivial. Une pondération de ce 1-cocycle fournit une nouvelle formule pour l'invariant de Casson des nœuds.
机译:节点是各种尺寸3的圆的嵌入。在球S3中,可以通过高斯图对节点进行组合编码。这些可以独立研究,而不必考虑真实节点:这称为虚拟节点理论。在第一部分中,我们定义了虚拟节点的通用版本,具体取决于提供了Z / 2值的射态的组 ud G.当正确选择这些参数时,所获得的理论将概括任何加厚表面上的节点 ud(也就是说,表面上的实线成束)。除了节点的编码外,高斯图还是描述Vassiliev有限类型不变量的强大工具。在第二部分中,我们提供了一套完整的标准来检测这些不变量。尤其是,雷德迈斯特三世的不变性标准是对M.Polyak猜想的积极回应。给出的例子包括平面链对不变式的Grishanov-Vassiliev定理的新证明和推广。第三部分是一个粗略的轮廓,旨在找到一种算法来确定R×S1环中的给定图是否表示一个封闭在固体圆环中且附近有同位素的辫子。第一步,是找到一个识别闭合辫子高斯图的准则 UdWe猜想该准则足以满足具有最小交叉数的图的要求,并为此目的提出了建议。最后一部分是与T. Fiedler的共同工作,探讨了与R3中圆的所有浸入空间有关的非通用对象的属性。该空间具有无限的维度,并根据沉浸的非一般性程度进行分层。尽管瓦西里耶夫(Vassiliev)的理论仅限于仅包含普通双点的地层研究,但此处我们禁止使用这些双点,而仅允许某种类型的三点。我们证明,展示的空间不是简单地通过展示一个非平凡的1-cocycle来连接的。该1循环的权重为节点的Casson不变量提供了新公式。

著录项

  • 作者

    Mortier Arnaud;

  • 作者单位
  • 年度 2013
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