実対称定値一般化固有値問題のすべての固有値の精度保証付き数値計算法

摘要

実対称定値一般化固有値問題 Ax=λBx のすべての固有値と固有ベクトルの近似値が計算されているとして，すべての固有値を精度保証する問題を考える．ただし，n × n 行列 A，B はともに実対称行列で，行列 B は更に正定値であるとする．まず，対称定値一般化固有値問題のすべての固有値を精度保証する問題が行列方程式 BPX=AP の解の精度保証の問題に帰着できることを示す．ただし，P は近似固有ベクトルを並べた n × n 行列であり，X が求めるべき n × n の行列である．そして，この行列方程式の解の精度保証法として連立1次方程式の成分ごと評価法という精度の良い方法が利用できることを示す．また，数値実験により，本手法の有効性を示している．