LA MéTHODE DU RETOUR EN CONTR?LABILITé ET SES APPLICATIONS EN MéCANIQUE DES FLUIDES

摘要

Un système de contr?le est une équation d'évolution dépendant d'un paramètre. La théorie du contr?le cherche à déterminer comment l'on peut choisir ce paramètre en fonction du temps afin de modifier la dynamique dans un sens prescrit. Le problème de contr?labilité s'intéresse en particulier à la possibilité de faire passer l'état du système d'un point de départ à une cible prescrite, celui de stabilisation à la possibilité de rendre un point d'équilibre stable. Dans le cas d'équations non linéaires, l'approche usuelle pour obtenir ce type de propriété est de linéariser le système, puis d'obtenir un résultat sur le linéarisé par des méthodes classiques. Cependant dans de nombreux systèmes d'origine physique, le linéarisé n'est pas nécessairement contr?lable. La méthode du retour introduite par J.-M. Coron permet de contourner cet obstacle. Dans cet exposé, nous nous intéresserons d'abord au problème pour lequel cette méthode a été introduite, qui concerne la stabilisation de certains systèmes de dimension finie; puis nous illustrerons la méthode par deux exemples issus de la mécanique des fluides incompressibles: l'un, d? à J.-M. Coron, concernant l'équation d'Euler, l'autre, d? à J.-M. Coron et S. Guerrero, concernant l'équation de Navier-Stokes.