Numeričko izračunavanje optimalnih upravljanja brahistohronog kretanja mehaničkog sistema

摘要

In this paper a mechanical system performing brachystocronic motion is discussed. Mathematical model is expressed in the form of Lagrange's equations of the second type in their countervariant form. The procedure of defining optimal controls is explained. The procedure is based on the maximum principle and expressed in the form of equations for an occurrence of limitation to the control and phase variables. Generalized speeds are accepted for the controls, and, in that way, the procedure of optimal controls determination is considerably simplified and the scope of calculation substantially reduced. Solution of a two-point limitation problem is performed by the method of finite differences. At the same time, the incidence of indefinite time is also discussed and the procedure for that case is given. Due to non-linearity and complexity of the expressions used, symbolic programming has been applied.%U radu je razmatran mehanički sistem koji vrši brahistohrono kretanje. Matematički model sistema je dat u vidu Lagranževih jednačina druge vrste u kontravarijantnom obliku. Izložen je postupak određivanja programskih optimalnih upravljanja. Postupak je zasnovan na principu maksimuma za slučaj ograničenja upravljanja i faznih promenljivih u vidu jednakosti. Za upravljanja su uzete generalisane brzine i na taj način je znatno pojednostavljen postupak za određivanje optimalnih upravljanja i znatno smanjen obim izračunavanja. Rešavanje dvotačkastog graničnog problema je izvršeno numeričkom metodom konačnih razlika. Istovremeno je razmatran i slučaj neodređenog vremena i dat postupak za taj slučaj. Usled nelinearnosti i složenosti upotrebljenih izraza primenjeno je simboličko programiranje.