矩阵代数上的局部合同变换和局部相似变换

摘要

令F表示任意域,Mn(F)表示由F上所有n×n矩阵形成的结合代数.本文的目的是研究Mn(F)上具有如下性质的两类线性映射,其中一类线性映射在Mn(F)上每一点的取值与Mn(F)的某个合同变换在该点的取值相同,另一类线性映射在Mn(F)上每一点的取值与Mn(F)的某个相似变换在该点的取值相同,随着Mn(F)上的点不同,这些合同变换和相似变换可能也不同.利用矩阵的秩、幂等阵以及幂零阵的性质,通过矩阵计算的方法证明了第一类线性映射或者是合同变换或者是合同变换与转置变换的复合,第二类线性映射或者是相似变换或者是相似变换与转置变换的复合.由这个结果可知存在真正意义上的局部合同变换和局部相似变换,从而丰富了局部映射理论的研究.