函数极值点与零点平均数的较量

摘要

1.问题的提出题目（2015年高考北京文科题）设函数f（x）=x^2/2-klnx,k〉0.（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值;（Ⅱ）证明：若f（x）存在零点,则f（x）在区间（1,e^（1/2）]上仅有一个零点.笔者借助几何画板研究了此题,在问题（Ⅱ）的探究过程中发现：（1）f（x）在x=k^（1/2）处取得极小值;（2）当k=e时,f（x）有唯一零点;当k〉e时f（x）有两个零点,如图1.