一个计算凸多边形对角线交点的方法

摘要

我们知道,在初中平面几何学习到多边形内角和时,要提到从凸n边形（n3,n∈N）一个顶点出发可引（n-3）条对角线,把这个多边形分成（n-2）个三角形,再由三角形内角和求得此凸多边形的内角和。很多教师都在此时顺便向学生介绍凸n边形共有n（n-3）/2条对角线。在对其交点个数不会也不可能作进一步的探求。因为这要涉及到有关排列、组合的知识。 然而笔者在讲解这一部分教材时,却遇到有些同学提出这一问题。他们不仅问凸多边形对角线共有几个交点,还问在形内共有多少个不重复的交点,对这个问题高中教师会提供一个计算公式Cnn-4,但初中学生难以接受。 笔者在此介绍一个直观且易于被初中学生接受的计算方法。 四边形共有两条对角线,它们只有一个交点。五边形共五条对角线,形内有五个交点。从六边形开始对角线条数增多,形内交点也迅速增多。试以七边形为例,根据图形观察计算。首先从A点引（n-3）=7-3=4条对角线。然后从B点开始引对角线线BG、BF、BE、BD、（顺时针方向）,观察对角线交点个数4、3、2、1,从C点按顺时针方向引对角线。得交点数6、4、2,（排除重复的对角线及交点）,从D点引对角线,得交点数6、3,最后从E点引对角线,得交点数4,F点,G点不必再考虑了。（对角线及其交点均为重复）。这样得出凸七边形在形内对?