一道导数压轴题的解法探究与拓展

摘要

题目已知函数f(x)=e^x+ax^2,g(x)=x+blnx.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线相交于点(0,1).(1)求a,b的值;(2)求函数g(x)的最小值;(3)证明:当x>0时,f(x)+xg(x)≥(e-1)x+1.这是本市期中考试的导数压轴题,第(3)问是一个函数不等式证明问题,难度较大.经过一番探究,笔者发现两种重构函数的简单解法,现整理成文,与大家分享.