Nouvelle methode pour approximer le gradient et le laplacien d'une fonction reelle.

摘要

La methode SPH rencontre un interet croissant grace a sa capacite de manipuler les problemes comportant a la fois de grands deplacements et de grandes deformations. En se basant sur l'identite de Green, cette methode consiste a transposer les operations du gradient et du laplacien au noyau. Ce dernier doit etre assez regulier pour que cette transposition aie un sens. Or, dans la pratique, on constate qu'avec cette regularite (du noyau) souhaitee, les calculs numeriques deviennent plus couteux bien que la precision de l'approximation du gradient et du laplacien obtenue reste insuffisante.;Le but de ce travail est de proposer un nouveau outil permettant l'approximation avec une bonne precision du gradient et du laplacien d'une fonction reelle en un point avec un cout raisonnable.;Pour ce faire, nous nous sommes inspire des techniques de la methode SPH et nous avons introduit: (1) deux nouvelles fonctions unidimensionnelles destinees respectivement a l'approximation de la derivee premiere et de la derivee seconde d'une fonction reelle f en un point, (2) trois nouvelles fonctions bidimensionnelles pour approximer une fonction reelle (notee encore f) definie sur R2 , son gradient et son laplacien en un point du plan.;Pour chaque nouvelle fonction introduite, nous avons montre que la bande d'erreurs depend fortement de la regularite de la fonction f et ce, aussi bien dans le cas continu que le cas discret. La convergence est assuree puisque la bande d'erreurs est au moins d'ordre O(h).;Nous avons montre que notre methode est d'ordre 2 et qu'en faisant le bon choix de noyau, elle nous permet d'aboutir a d'excellents resultats avec le moindre cout. Ayant utilise la regle de Boole et la fonction definie a partir du noyau discret et destinee a approximer la derivee seconde d'une fonction, nous avons pu obtenir des resultats plus precis que ceux deja presentes.;Enfin, pour montrer la validite et l'efficacite de la methode qu'on vient de proposer, nous avons effectue des tests numeriques bases sur des fonctions reelles (definies sur R et R2 ) connues. Les resultats obtenus sont satisfaisants.