半弧传递图与半边传递图

摘要

本文主要研究群论在图论中的应用，主要工作是半弧传递图，半边传递图和非正规Cayley图的研究。
　　第一章是引言部分，主要介绍本文所要用到的一些有关群和图的基本概念，所要研究的问题以及相关背景知识。
　　第二、三、四章是关于四度半弧传递图的分类.一个图X称为是半弧传递图，如果图X的全自同构群作用在点集合和边集合上是传递的，但是作用在弧集合上不是传递的.设p，q，r是奇素数.第二章证明了不存在2p2阶四度半弧传递图.第三章给出了2pq阶四度半弧传递图的分类，证明了2pq阶四度半弧传递图有两类：一类是Cayley图，一类是非Cayley图.进一步，对于给定的素数p和q，给出了同构意义下2pq阶四度半弧传递图的个数.第四章给出了三个素因子乘积阶四度半弧传递图的分类，证明了p2q和pqr阶四度半弧传递图都是正规Cayley图.进一步，给出了同构意义下图的个数.特殊的，p2q阶四度半弧传递图中会出现自同构群可解但不是亚循环图的无限类.这三章结合冯衍全教授关于4p阶四度半弧传递图的分类和徐明曜教授关于p3阶四度半弧传递图的分类，给出了三个素因子乘积阶四度半弧传递图的完全分类。
　　第五章给出了4p阶二倍素数度半弧传递图的分类.冯衍全教授证明了4p阶四度半弧传递图都是非Cayley图.与四度不同，我们证明了4p阶二倍奇素数度半弧传递图都是亚循环群上的正规Cayley图.图存在的充要条件是4q| p-1，并且对于给定的阶，图存在且唯一。
　　第六章是关于半边传递图和非正规Cayley图的研究.一个图X称为是半边传递图，如果图X的全自同构群作用在点集合上是传递的，作用在边集合和弧集合上都有两个长度相同的轨道.这一章，我们首先给出了一个图是半边传递图和非正规Cayley图的充分条件.利用这个条件，我们构造了交错群An上几个四度非正规Cayley的无限类，同时这些图也是半边传递的.这些例子说明了非交换单群上四度非正规Cayley无限类的存在性.进一步还说明，与四度半弧传递图和四度对称图一样，四度半边传递图的点稳定子群也可以无限大.徐明曜教授等证明了交错群A5上有且仅有4个四度非正规Cayley图，这也是已知最早的非交换单群上的四度非正规Cayley图(并且这四个图都是半边传递图).这里作为一个应用，我们证明了交错群A6上有且只有两个四度非正规Cayley图，并且这两个图也都是半边传递图。