计算光子晶体和衍射光柵折射和反射谱的几种新方法

摘要

由于光子晶体在应用中展现出非凡的光学性质和重要的潜在应用，它们在理论和实际中被广泛研究。许多光子晶体器件是集成光路的重要组成元件，例如波导拐弯器，波导分叉器，高频滤波器，波导耦合器等。在光波长范围内具有全能带的三维(3D)光子晶体有重要的应用，例如超高质量因子腔和零阈值激光器。Woodpile材料由相互交错的圆柱组成，由于它与其他3D光子晶体比较起来制作简单，因此人们对其产生广泛注意和研究兴趣。衍射光栅材料被深入研究了许多年，它在许多实际领域得到广泛应用，例如单色器，光谱仪，激光器，光波分开耦合器，光脉冲压缩器等。
　　 数值方法在设计，分析和优化光子晶体和衍射光栅器件方面十分重要。其中一些方法为一般的方法，例如时域有限差分法(FDTD)，它可应用于各种各样的光子晶体和衍射光栅器件中，但它的精度和有效性经常受到限制。FDTD方法需要用小尺寸网格来处理曲面边界并且对处理无界区域上的周期材料经常会遇到困难。傅里叶模方法(FMM)对分层齐次材料构成的衍射光栅很适用，但对有倾斜界面的一般光栅或由圆柱组成的光子晶体材料，该方法并不有效并且可能会出现收敛性上的问题。边界积分方程(BIE)方法在某种程度上说实现起来较为复杂，这由于该方法的积分算子与拟周期Green’s函数相关，需要用复杂的格子叠加技术来实现。有限元方法(FEM)是很一般的方法，用该方法会产生线性方程组，其系数矩阵为大型，复和非正定的，较难求解。
　　 在本论文中，基于Dirichlet-to-Netlmann(DtN)或Neumann-to-Dirichlet(NtD)映射(单位元或齐次介质构成的子区域)的数值方法被研制出来用于计算二维和三维光子晶体及衍射光栅材料的反射谱和折射谱。对由半径较大圆柱组成的光子晶体材料，也就是说其圆柱的半径大于格子常数的、(√)3/4倍，一个有效的DtN映射方法被研制出来计算其反射谱和折射谱。我们的方法中用到定义在一系列曲线上的算子。由于不需要计算单元内部的波场，该方法显得很有效。该方法通过使用DtN映射完成，其在单元边界上将波场映射到其法向导数。我们将该DtN映射方法推广到用倾斜平面波照射二维光子晶体的情形。在这种情形下，DtN算子在单元边界上将波场的两个纵向分量映射到其法向导数。对于由交错圆柱组成的三维光子晶体，以woodpile材料作为其特例，我们研制了一个十分有效和精确的计算方法。该方法依赖于将一系列算子从材料的一端推进到另一端。推进步骤中包括在每一排圆柱轴不变层上使用二维单元上的DtN映射。进一步的简化方法可以通过Tangential-to-Tangential(T2T)算子来实现，其在2D单元上，将波场的两个横向分量映射为另外两个横向分量。
　　 这些算子通过柱面波展开方法来逼近成矩阵。
　　 对衍射光栅，一个新的方法被研制出来，它将一个周期上的衍射光栅区域分隔成一系列齐次子区域并在子区域上通过边界积分方程方法来计算NtD映射。对每一个子区域，NtD算子在区域边界上将波场法向导数映射为波场本身。该方法保留已有的边界积分方程方法优点，但它避免了较难计算的拟周期Green’s函数。对用倾斜平面波照射在衍射光栅材料上的情形，NtD算子在子区域边界上将波场的两个纵向分量映射为另外两个纵向分量。边界面处需要对微分算子合理逼近来满足边界面上的条件。该方法对绝缘和金属构成的衍射光栅均有效。