光学信号分析在量子力学中的研究进展和量子层析技术

摘要

在量子力学中，物理上的可观测量是用厄米算符的形式来表达的，它们之间一般是不对易的。当我们将经典力学中的函数推广到量子力学范围时，其所对应的量子力学幺正算符并不唯一，根据不同的对应规则或算符编序形式，有不同的表达形式。因此人们在将经典函数和量子力学算符相对应的过程中，总会面临着算符编序的问题。最常见的算符编序形式有正规乘积编序，反正规乘积编序和Wey1编序。其中Wey1编序具有在相似变换下的不变性，在实际运算中比较方便，故而应用最广泛。迄今为止，对于编序后算符的运算问题，人们主要用两种方法来解决，即李代数方法和相干态表象微分操作法。这两种方法对一个较为复杂的排序算符的计算都无能为力。有鉴于此，范洪义教授发明了有序算符内的积分技术（IWOP技术）来处理排序算符的计算问题。IWOP技术将只适用于经典可对易函数的牛顿一莱布尼茨积分推广到了对量子力学ket-bra型非对易量子算符的运算，从而建立起了联系非对易q数和对易的c数之间的桥梁。
　　 本文在算符编序理论的基础之上，利用IWOP技术，将经典光学中常用的分析方法引入到了量子力学范围内（其中包括层析摄像技术及Radon变换和小波分析技术）。这不仅丰富了Dirac符号法和变换论，对量子力学中光学变换的研究也有实际的应用价值。
　　 本文分为六章，具体内容安排如下:
　　 第一章首先用IWOP技术从新表述了量子力学的基本表象，包括坐标表象，动量表象，粒子数表象和相干态表象。然后介绍了一些用IWOP技术寻找到的新的量子力学表象，它们都具有实际的物理意义。这些表象包括坐标一动量中介表象，纠缠态表象，中介纠缠态表象，三模纠缠态表象，三模相干纠缠态表象等等。
　　 第二章介绍了Weyl对应规则、Wigner算符、任意算符的Weyl编序展开式和Weyl编序下的积分技术。进而利用IWOP技术，给出了Wigner算符在各个量子力学基本表象中的表达式。最后推导出了Wigner算符在各个新找到的量子力学表象中的表达形式。
　　 第三章中，我们首先介绍了一种降低维度的光学分析方法一层析摄像技术和其数学基础Radon变换在各个维度的一般表达式。然后将其推广到量子力学范围，给出了Wigner算符的Radon变换的一般表达式，并推广到了双模情形。
　　 第四章中，我们对Wigner算符的Radon变换做了更加详细的研究，对各个光学过程下Wigner算符的Radon变换进行了分析，我们发现各光学过程所带来的信号的Wigner函数的Radon变换的改变可以归结为Radon变换参数的改变，这就简化了其运算过程并可以将Radon变换应用到量子光学过程中。最后我们对双模情形在中介纠缠态表象下做了相同的研究。
　　 第五章介绍了另外一种提高维度的光学分析方法一小波变换。我们在将小波变换推广到量子力学的过程中，利用量子力学的方法，推出了一个新的小波系列一高阶墨西哥帽小波系。然后我们利用不同的信号输入，对这个新的小波系列的性质做了详细的分析，并给出了一些应用实例。
　　 最后我们总结了一下上面的研究工作并给出了这些领域未来可能的研究方向。

目录

声明

摘要

第一章 绪论(量子力学表象变换研究进展)

1.1 引言

1.2 坐标和动量在粒子数表象中的表达式

1.3 相干态表象的自然导出和在粒子数表象中的表达

1.4 正规乘积内的积分技术

1.5 两粒子连续纠缠态表象的引入

1.6 从坐标-动量中介表象到中介纠缠态表象

1.7 量子力学三体纠缠态表象对比三模相干--纠缠态表象

第二章 Wey1编序和Wigner算符在量子力学中的进展

2.1 Wey1对应和Wigner算符

2.2 Wigner算符在坐标表象和相干态表象中的表示

2.3 从Wey1对应规则到算符的Wey1编序

2.4 Wigner算符的Wey1编序

2.5 任意算符的Wey1编序的展开式

2.6 Wey1编序内的积分技术(IWWOP)

2.7 各量子力学表象中的Wigner算符

2.7.1 纠缠态表象内的双模Wigner算符

2.7.2 态变换下的Wigner算符

2.7.3 电磁场中规范不变的Wigner函数

2.7.4 三模纠缠态表象下的Wigner函数

2.7.5 三模相干-纠缠态表象下的Wigner函数

第三章 Wigner算符的Radon变换研究进展

3.1 从层析摄像技术(Tomography)到Radon变换

3.2 三维Radon变换到高维Radon变换

3.3 利用中介表象研究Wigner算符的Radon变换

3.4 利用二次傅立叶变换Wigner算符的Radon变换

3.5 中介纠缠态表象中Wigner算符的Radon变换

第四章 光学过程下wigner算符的Radon变换

4.1 光学过程中Wigner算符的变化

4.2 光学过程中Wigner算符的Radon变换(单模情形)

4.3 光学过程中Wigner算符的Radon变换(双模情形)

4.4 附录(一个Radon变换Matlab实现的例子)

第五章 量子力学态矢下的小波变换研究进展

5.1 小波变换的基本理论

5.2 利用量子力学态矢的小波变换定义新的母小波函数

5.3 高阶墨西哥帽小波函数的信号分析

第六章 结论及未来的研究方向

参考文献

致谢

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