约束哈密顿系统正则化方法的若干问题研究与应用及其计算机代数实现

摘要

约束哈密顿系统正则化方法在多体力学、分子动力学、宇宙学等方面应用广泛，相应的处理方法较为成熟。本文简述了三种主要的约束哈密顿系统正则化方法的方法，包括张宗燧的方法和Faddeev-Zakharov方法以及Dirac的方法，比较了它们的不同。张宗燧的方法对于处理带有高阶时间导数项的体系效果较好，但是对于带有约束的力学体系，其最后处理的结果虽然自洽但是带有一个不定乘子。Faddeev-Zakharov方法从当代微分几何的角度入手，计算更为简单，物理意义也更为明确，本质上它应该与Dirac的方法是等价的。最后我们对Dirac的方法进行了简述，并给出了相应的算法。我们发现Dirac的方法便于计算机代数实现并且有广阔的应用却一直没有公开的实现，我们给出了详细的算法并使用Python语言及其第三方包SymPy对其进行了计算机代数实现，相应的代码见附录。
　　 接下来我们展示了我们系统的一个应用，使用Dirac的方法对三个Shapere和Wilczek最近提出的包含时间平移对称性自发破缺的奇异拉格朗日系统，包括φ4模型、fgh模型、双草帽模型进行了处理。这几个模型的共同特点是能量是相空间变量的多值函数，并且包含对称性破缺的基态都位于哈密顿量函数的拐点上。我们通过扩大相空间并使用Dirac的方法对这三个模型进行了处理，给出了详尽的进行正则化处理的过程，最终给出了求得的运动方程和正则哈密顿量，结果显示我们消除了Shapere和Wilczek论文中出现的多值性和拐点的奇异性，同时时间平移对称性的自发破缺变的更为明显了。我们还发现时间平移对称性的破缺总是伴随着时间反演对称性的破缺。
　　 接下来我们对比两种不同的哈密顿描述，即我们常见的牛顿力学体系中哈密顿量，与一个非标准的、泊松括号非线性的哈密顿描述，后者为经典的正则哈密顿量的平方加上一个常量的形式。展示了在第二种哈密顿描述中，如果其中的势函数可以取到负值，那么其对应的力学系统随着时间的演化会出现时间平移对称性破缺和时间反演对称性破缺。我们还发现时间平移对称性自发破缺与朗道二阶相变理论的非常相似。接着我们举了几个时间平移不变性被破坏的例子，并通过一个具体的应用，即将FRW宇宙中ΛCDM模型重新表示为一个时间平移对称性破缺的基态来对其做进一步说明。

目录

声明

摘要

第一章 引言

第二章 三种约束哈密顿系统正则化方法

第一节 张宗燧的方法简述

2．1．1 张宗燧方法对于Pα并不全是独立的情况的处理

第二节 Faddeev-Jackiw对约束系统处理的方法简述

第三节 Dirac方法及其算法实现简介

第三章 Python语言及相关包介绍

第一节 Python语言简介

第二节 SymPy的Gr?bner基简介

第四章 奇异拉格朗日系统的哈密顿描述与时间平移对称性自发破缺

第一节 普遍的情况的讨论

第二节 Φ4模型

第三节 fgh模型

第四节 双草帽模型

第五节 对于以上计算的进一步讨论

第五章 时间平移对称性自发破缺与朗道二阶相变理论

第一节 朗道二阶相变理论简介

第二节 牛顿力学系统的两种不同的哈密顿描述

第三节 力学系统的“态转变”

第四节 对称性破缺的一个应用：ΛCDM模型

第五节 进一步讨论

第六章 总结与展望

参考文献

致谢

第七章 附录

第一节 Dirac source code

个人简历、在校期间的研究成果