记忆细胞自动机与扭转型Smale马蹄的符号动力学研究

摘要

上世纪50年代, John von Neumann在研究机器人自我复制时,提出了一种叫做细胞自动机的数学模型.一类特殊的细胞自动机是由Stephen Wolfram提出的状态数为2、邻域半径为1的基本细胞自动机,共有256个规则.在2003年, Ramon Alonso-Sanz提出了一种带有记忆机制的基本细胞自动机.传统的细胞自动机是无记忆的,即每个细胞在下一时刻的状态只依赖于上一时刻的细胞状态.而记忆细胞自动机,作为细胞自动机的拓展,每个细胞都可以通过记忆函数记住它之前一段时间的细胞状态,而且,对于不同的记忆函数,其表现出的动力学行为往往也是不同. 本文从符号动力学角度出发,主要研究了两类记忆细胞自动机的拓扑共轭分类和两者之间的关系,以及带有多数记忆的基本细胞自动机16的动力学性质.随后,本文刻画了扭转型Smale马蹄的动力学行为.具体安排如下:第一章绪论,简要介绍了两类细胞自动机的研究成果,以及符号动力学与细胞自动机及Smale马蹄之间的关系.第二章介绍了本文用到的符号动力系统的一些基本概念.第三章对两类记忆细胞自动机全局映射进行拓扑共轭分类,并进一步探讨了两类记忆细胞自动机之间的拓扑共轭关系.第四章首先是利用有限型子移位对ECA16进行讨论,得到ECA16的具有Bernoulli右移位性质的子系统,然后通过转移矩阵分析了ECA16在子系统上的拓扑混合性、拓扑熵等符号动力学性质.接着以规则16添加多数记忆后的全局映射F16为研究对象,深入地研究了F216在不变子系统上的动力学性质,得到F16在Li-Yorke意义下是混沌的,在不变子系统上是拓扑混合的,从而在Devaney意义下是混沌的.第五章通过符号序列空间的移位映射刻画了符号动力系统的一个应用——Smale马蹄模型.最后,第六章对全文作了扼要总结,并提出了进一步的研究展望.

目录

声明

1 绪论

1.1 细胞自动机及记忆细胞自动机的研究与发展

1.2 符号动力学与细胞自动机及Smale马蹄之间的关系

1.3 论文的主要内容与结构

2 预备知识

2.1 符号动力系统的基本概念

2.2 细胞自动机的基础理论

2.3 记忆细胞自动机的全局规则映射

3 记忆细胞自动机的全局映射拓扑共轭分类

3.1 构造同胚映射H和T

3.2 全局映射拓扑共轭分类

3.3 两类记忆细胞自动机之间的拓扑共轭关系

4 映射F16的动力学性质

4.1 映射 f16的动力学性质

4.2 映射F16的动力学性质

5 扭转型Smale马蹄模型及拟移位映射

5.1 扭转型Smale马蹄表示

5.2 符号序列空间上的一个拟移位映射

5.3 本章小结

6 总结与展望

6.1 总结

6.2 展望

致谢

参考文献

附录

附录A 256种细胞自动机局部规则映射的布尔表示