高维差分微分系统对称性和严格解研究的新方法

摘要

本文首次把形式级数对称方法推广应用到一般高维差分微分非线性系统,然后把这个方法应用到典型的2+1维的差分微分Toda方程,发现正如连续的Toda场理论一样,对于典型的2+1维的差分微分Toda方程,有二簇无限多对称.它们中的每一簇都构成一个广义的W<,∞>代数.其中的点李对称的子代数包含两个重要的无限维的Virasoro代数.然后,作者首次将形式级数对称方法推广应用到非标准的演化方程系统(时间导数项可以出现在不同的非线性项中).并以双线性形式的差分微分KP系统为例进行了具体的讨论.在差分微分系统中,首次提出了研究广义Kac-Moody-Virasoro群不变方程的完整归类的新方法,并以典型的(2+1)维差分微分Toda方程为例进行了具体的讨论.本论文的创新点在于:(1)在高维差分微分系统中,建立了适合标准演化型和非标准演化型方程的形式级数对称方法,并提出了该方法的双线性形式;(2)在高维差分微分系统中,提出了研究广义Kac-Moody-Virasoro群不变方程的完整归类的新方法;(3)推广了Hirota的KdV型和mKdV型的双线性形式和相应的直接法;(4)提出了二个新的差分微分可积系统.结合由同行提出的几个新的差分微分系统,给出了它们的双线性形式,给出了四类差分微分系统的Backlund变换、Lax对和二类系统的非线性叠加公式;(5)在高维差分微分系统中,建立了构造方程严格解的一个强有力的新方法—多线性分离变量法.并得到了大量的新的局域激发模式.

目录

文摘

英文文摘

上海交通大学学位论文原创性声明

上海交通大学学位论文版权使用授权书

上海交通大学学位论文答辩决议书

第一章绪论

§1.1孤立波的发现及其意义

§1.2非线性系统可积性概念的发展

§1.2.1 Liouville可积

§1.2.2 IST可积

§1.2.3对称可积

§1.2.4 Painleve可积

§1.2.5 C-可积

§1.2.6几何可积[21]

§1.2.7具有Backlund变换和Darboux变换意义下的可积

§1.2.8 Hirota多孤子意义下的可积

§1.2.9传统可积性的进一步延拓

§1.3可积系统理论发展的简单回顾

§1.3.1反散射方法

§1.3.2 Backlund变换和Darboux变换

§1.3.3对称与微分方程约化

§1.3.4 Painleve奇性分析

§1.3.5孤立子方程及守恒律

§1.3.6 Hirota双线性直接法

§1.3.7分离变量法

§1.4本人学位论文的选题、研究任务和取得的主要成果

第二章高维差分微分可积系统的形式级数对称理论

§2.1一般高维差分微分可积系统的形式级数对称理论

§2.2 2+1维差分微分Toda方程的形式级数对称和李代数结构

§2.2.1 2+1维差分微分Toda方程的形式级数截断对称

§2.2.2(2+1)维差分微分Toda方程的广义W∞代数

§2.3具有共同KAC-MOODY-VIRASORO对称代数的典型的2+1维差分微分Toda模型家族

§2.4 2+1维差分微分可积模型的双线性形式的形式级数对称

§2.5本章小结

第三章Hirota双线性形式、Backlund变换和非线性叠加公式

§3.1 Hirota直接法的回顾

§3.2推广的Hirota双线性形式

§3.2.1推广的KdV-型的双线性方程

§3.2.2推广的mKdV型双线性方程

§3.3一个具有Backlund变换和Lax对意义卞的新的差分微分可积系统

§3.3.1一个新的差分微分可积系统

§3.3.2一个新的差分微分可积系统的Backlund变换

§3.3.3一个新的差分微分可积系统的Lax对

§3.3.4一个新的差分微分可积系统的连续近似

§3.4 1+1维差分微分Sine-Gordon方程的双线性形式，Backlund变换和Lax对

§3.5几个高维差分微分可积系统的双线性形式及其可积性

§3.5.1晶格(3.127)和(3.128)的Backlund变换和非线性叠加公式

§3.5.2晶格(3.129)-(3.131)的Backlund变换和非线性叠加公式

§3.5.3特殊的2+1维TODA晶格的Backlund变换

§3.5.4 Levi-Ragnisco-Shabat晶格的双线性形式和孤子解

§3.6本章小结

第四章高维差分微分可积系统的多线性分离变量法

§4.1引言

§4.2(2+1)维特殊差分微分Toda系统的多线性分离变量方法

§4.2.1 2+1维特殊差分微分Toda方程的连续近似和双线性形式

§4.2.2 2+1维特殊差分微分Toda方程的分离变量解

§4.2.3 2+1维特殊差分微分Toda方程的势的丰富的局域相干结构

§4.3 2+1维差分微分ANNV可积系统的多线性分离变量方法

§4.3.1 2+1维差分微分ANNV可积系统的提出

§4.3.2 2+1维差分微分ANNV可积系统的双线性形式

§4.3.3 2+1维差分微分ANNV可积系统的分离变量解

§4.3.4有完全弹性相互作用和没有完全弹性相互作用的多局域激发

§4.4本章小结

第五章总结，讨论和展望

参考文献

攻读博士学位期间发表和录用的学术论文目录

致谢