任意阶Hilbert谱分析：定义及其在充分发展湍流和环境数据中的应用

摘要

经验模态分解(Empirical Mode Decomposition-EMD，又被称作Hilbert-Huang变换(Hilbert-Huang Transform)-HHT)是由黄锷等人(Huang et al．，1998．1999)于十年前提出的一种新的分析非平稳和非线性数据的时频分析方法。在过去的十余年中，有超过1000篇文献报道在工程应用及科学研究的不同领域中使用该方法。本论文首次使用该方法分析湍流数据以及环境观测数据。在对湍流的数据分析中发现EMD类似于一类二分滤波器(dyadic filter bank)。为了能使之刻画所分析信号中的间歇性，我们将经典的Hilbert谱分析(Hilbert Spectral Analysis-HSA)方法推广为任意阶Hilbert谱分析。对HSA方法提供的联合概率密度分布函数p(ω． A)对幅值A进行边际积分，就为我们提供了在幅值－频率空间中对尺度不变特性刻画的新框架，其中ω是瞬时频率，A为幅值。我们首先对构造的分形布朗运动时间序列以及多分形非平稳时间序列进行分析，从而来验证该方法的可行性和有效性。通过和结构函数的结果相对比，我们发现新方法对间歇性参数提供了更加有效的预测。
　　 通过统计平稳假设，我们提出了速度增量时间序列△ue(t)自相关函数的解析模型，速度增量定义为△ue(t)=u(t＋e)-u(t)。通过这个模型，我们解析证明了当原始变量具有标度行为时，其速度增量的自相关函数将在相应的时间分隔e位置取得最小值。同时该模型还表明该最小值存在标度行为，并被分形布朗运动以及湍流实验数据所证明。通过定义自相关的累积函数，在傅立叶谱空间对不同的尺度贡献进行了刻画。我们发现对于自相关函数的主要贡献来自于大尺度部分。同样的分析过程被应用于二阶结构函数。分析结果表明二阶结构函数强烈受到大尺度部分影响，这表明结构函数并不适合用来提取标度指数，特别是当所分析的数据中含有大尺度的含能结构的时候。
　　 我们然后将该方法应用于均匀、近似各向同性的湍流实验数据来刻画湍流的间
　　 xviii歇性，发现速度的联合概率密度分布函数p（ω，A)本身具有标度趋势，相应的标度值很接近Kolmogorov值。我们随后在幅值－频率空间里对结果函数所提供的标度指数进行了重复。我们对局部各向同性假设在幅值－频率空间里进行检验，发现拓展的各向同性比值随着统计阶数q线性减小。
　　 我们还使用该方法分析了射流实验中的一段温度数据，该数据有着较强的峭壁结构(ramp-cliff)。对于该数据，传统的结构函数方法不再适用。但是新方法在统计阶数高达8的时候仍然给出了清晰的标度行为，相应的标度指数ξ(q)非常接近充分发展湍流中的流向速度的标度指数。
　　 最后，我们用该方法分析了河流数据以及近海海洋湍流数据，在Hilbert框架下刻画了其中的尺度不变特性。