二维变系数椭圆型方程数值求解及参数反演计算

摘要

在自然科学与工程技术领域中有许多问题都可以用偏微分方程来描述,研究偏微分方程的数值解是解决上述问题的有力工具。而偏微分方程的数值解的研究已成为一门专门的学科,国内外有很多学者在这个领域进行研究,并利用各种数值方法和最新的研究结果来解决各种工程实际问题。本文应用差分法和有限元法求解了二维变系数椭圆方程边值问题,得到了相应的误差分析,并进行了数值模拟。结果表明解此类问题时有限元法具有程序简单,计算精度高的优点。 当偏微分方程中的算子、右端项、边界条件、初始条件从过去的已知变成未知,而原方程的解仍然未知时,就构成了偏微分方程的反问题。由于反问题的不适定性与非线性性,使得它的理论与求解都比正问题困难的多,而且涉及面广。所以如何解决这些问题,成为广大数学工作者,自然科学工作者及工程技术人员努力开拓的一个崭新的学科领域。 数学物理方程反问题的领域非常广阔。它来源于各种实际背景,属于多学科的应用理论范畴,无论在理论研究和实际应用方面的意义都非常重大。较系统地研究了二维变系数椭圆型偏微分方程反问题的理论、求解方法、分析途径及工程应用。 本文利用迭代法对二维稳态对流—扩散方程参数反演进行了研究,得出了此类反问题的数值解法。数值模拟结果表明,此方法在求解二维稳态对流—扩散方程参数反演问题时是可行的也是有效的。同时,利用遗传算法对二维恒定各项同性介质渗透系数反演问题进行了研究,并进行了大量的数值模拟。数值结果表明,在解决复杂方程的反问题中,本文的处理方法具有精度高且稳定性好等优点。

目录

文摘

英文文摘

声明

1绪论

1.1课题研究的目的及意义

1.2国内外研究进展

1.3本文的研究工作

2二维椭圆型方程的有限差分法

2.1基本思想

2.2差分方程的建立

2.3二维椭圆型方程数值求解

2.3.1离散模型

2.3.2误差分析

2.4数值算例

2.4.1数值算例一

2.4.2数值算例二

2.4.3数值算例三

2.5小结

3二维椭圆型方程的有限元法

3.1有限元法的发展

3.2有限元法的内容和步骤

3.2.1数学模型

3.2.2离散模型

3.2.3误差分析

3.3数值算例

3.3.1数值算例一

3.3.2数值算例二

3.3.3数值算例三

3.4 小 结

4二维椭圆型偏微分方程反问题

4.1反问题的数学结构

4.2微分方程反问题分类

4.3微分方程反问题的不适定性

4.4微分方程反问题的求解方法

4.5微分方程反问题的的发展前景展望

4.6二维椭圆型偏微分方程反问题迭代法

4.6.1迭代法理论

4.6.2稳态对流-扩散方程系数反问题的数学模型

4.6.3迭代法的一般过程

4.7数值算例

4.7.1数值算例一

4.7.2数值算例二

4.8小结

5二维椭圆型偏微分方程反问题的遗传算法

5.1遗传算法概述

5.2遗传算法的特征

5.3遗传算法程序设计

5.4反问题的遗传算法

5.5数值算例

5.5.1二维恒定各向同性介质渗透系数的反演的数学模型

5.5.2数值模拟实例二

5.6小结

6结论与展望

致谢

参考文献

附录