一类生物膜动力系统的显式有限差分方法研究

摘要

非线性反应-扩散方程可以用来刻画具有反应扩散效应的物理、化学、生物等自然现象，但其解析解的求解困扰着研究者，因此近年来非线性反应扩散方程的数值方法的研究备受学者们的青睐，是数值计算的重要研究方向。
　　本学位论文核心工作是针对刻画生物膜系统的一类反应-扩散方程（组）提出了一种新颖的显式有限差分格式，用其来近似生物膜的非负、有界解。这类生物膜系统均带有形如D（u）=δuα/(1-u)β，0＜δ＜＜α，β与微生物密度相关的扩散系数，当微生物密度趋于零时，扩散系数将会退化，当微生物密度趋近于最大值1时，扩散系数将会变得奇异，因此如何设计合理、可靠、高效的数值方法就显得尤为重要。相反不合理数值方法，将可能导致数值解的奇异性，或者出现震荡现象。本学位论文提出的数值方法成功地回避了数值解的奇异性和震荡现象。
　　本学位论文另一重要工作是证明了所提出有限差分格式的收敛性和稳定性，并用数值算例验证了该方法的性能。数值结果表明，所提出的数值技术是可行的、高效的。
　　本学位论文包括六章，具体内容如下:
　　第一章，在阐述反应-扩散方程、生物膜系统概述的同时，介绍了本文研究的三个生物膜模型，以及其数值方法的研究现状。此外，还简单介绍了本文的主要研究工作。
　　第二章，罗列了本文用到的一些定义、概念，以及一些基础理论知识。
　　第三章，提出求解具有非线性扩散-反应的单一种族的生物膜模型的显式有限差分格式:σ+tu=（x1/2y+x1/2y）D（u）+Dt（δ+xxu+δ+yyu）+ru给出了该格式的截断误差;证明了其收敛性、稳定性;最后通过三个数值算例检验了数值方法的性能。
　　第四章，设计了用于求解带有非线性扩散-反应的耦合生物膜系统的显式有限差分格式:{σ+ts=d1（δ+xxs+δ+yy）-k1su/k4+sσ+tu=d2（x1/2xD（u）+x1/2yD(u))+d2D（u）（δ+xxu+δ+yyu）-k2u+k3su/k4+s证明了该格式的稳定性;给出了数值解非负、有界的条件;最后通过数值算例模拟了四个不同状态的耦合生物膜的繁殖过程。
　　第五章，给出了复杂生物膜系统的显式有限差分格式:δtS=εS-c1BS/ks+S+c2B/ks+S+c3E/ks+SδtB=εB+μBS/ks+S-c2B/ks+S-c4B/ks+SδtI=εI+c4B/ks+SδtE=εE+c5BS/ks+S-c3 E/ks+S通过数值算例验证了数值解的非负、有界性。
　　第六章，对本学位论文作了全面系统的总结与展望。

目录

声明

摘要

符号

第一章 绪论

1．1 概述

1．1．1 反应-扩散方程概述

1．1．2 生物膜动力系统概述

1．2 本文研究的生物膜动力模型

1．3 数值方法简述

1．4 本文的主要研究工作

第二章 预备知识

2．1 有限差分

2．2 截断误差、收敛性、稳定性的定义

第三章 单一生物膜动力系统的有限差分数值方法研究

3．1 单一生物膜动力系统

3．2 单一生物膜动力系统相关理论

3．3 控制方程的离散化

3．4 有限差分格式的性质

3．5 有限差分格式的截断误差、收敛性、稳定性

3．6 数值算例

3．6．1 数值算例一

3．6．2 数值算例二

3．6．3 数值算例三

3．7 本章小结

第四章 耦合生物膜动力系统的有限差分数值方法研究

4．1 背景

4．2 耦合生物膜动力系统

4．3 耦合生物膜动力系统的离散化

4．4 误差的定义

4．5 耦合生物膜动力系统数值解非负、有界的条件

4．6 有限差分格式的收敛性、稳定性

4．7 数值算例

4．7．1 数值算例一

4．7．2 数值算例二

4．7．3 数值算例三

4．7．4 数值算例四

4．8 本章小结

第五章 复杂生物膜动力系统的有限差分数值方法研究

5．1 背景、数学模型

5．2 有限差分格式

5．3 控制方程组的离散化

5．4 数值算例

5．4．1 数值算例一

5．4．2 数值算例二

5．5 本章小结

第六章 总结与展望

6．1 有限差分的思想

6．2 控制方程的特征

6．3 收敛性、稳定性分析

6．4 数值结果分析

6．5 三种生物膜系统的关系

6．6 本文主要完成的工作

6．7 数值方法的不足与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文