von Neumann代数上导子与同构的等价刻画

摘要

导子、Jordan导子、Lie导子及可乘映射、完全保持问题是算子代数与算子理论研究中非常重要的内容，受到了许多学者的广泛关注. 本文主要刻画von Neumann 代数上非线性skew Lie triple-导子、Jordan triple *-导子;刻画von Neumann代数上skew Lie-triple可乘映射,并将其结论进行推广. 刻画von Neumann 代数上完全保持skew Lie零积和完全保持斜Jordan零积的映射. 全文结构如下: 第一章介绍所研究问题的背景，本文的主要内容以及证明过程中所需的结论和定义. 第二章给出了von Neumann代数上*-导子的等价刻画. 1. 刻画von Neumann代数上skew Lie-triple导子. 设A是没有交换中心投影的von Neumann代数,则 Φ:A→A是一个非线性 skew Lie-triple导子（即 Φ([[A,B]*,C]*)=[[Φ(A),B]*,C]*+[[A,Φ(B)]*,C]*+[[A,B]*,Φ(C)]*，?A,B,C∈A）当且仅当它是一个可加的*-导子. 特别地，若A是因子 von Neumann 代数，则 Φ : A → A是非线性 skew Lie-triple 导子当且仅当存在满足T* =-T的T∈A使得Φ(A)=AT-TA对所有的A∈A都成立. 2. 刻画von Neumann代数上Jordan triple*-导子. 设A是没有交换中心投影的von Neumann代数,Φ:A→A是 Jordan triple *-导子（即 Φ(A◇B◇C)=Φ(A)◇B◇C+A◇Φ(B)◇C+A◇B◇Φ(C),?A,B,C∈A）当且仅当它是一个可加的*-导子. 特别地,若A是因子von Neumann代数，Φ:A→A是Jordan triple*-导子当且仅当存在满足T*=T的T∈A使得Φ(A)=AT+TA对所有的A∈A都成立. 第三章给出了von Neumann代数上*-同构的等价刻画. 1. 刻画von Neumann代数上的*-同构. 设A是没有交换中心投影的von Neumann代数,B是 *-代数. 若 Φ :A→ B是 skew Lie-triple 可乘双射，即 Φ([[A,B]*,C]*) =[[Φ(A),Φ(B)]*,Φ(C)]*，?A,B,C∈A，则 Ψ=Φ(I)?1Φ=Ψ1+Ψ2，其中 Ψ1|PAP是线性*-同构，Ψ2|(I-P)A(I-P)是共轭线性*-同构,P是中心投影.特别地,若A是因子von Neumann代数,则Φ:A→A是skew Lie-triple可乘双射当且仅当Φ或?Φ是线性*-同构或共轭线性*-同构. 第四章刻画 von Neumann代数上完全保 skew Lie零积和完全保持斜 Jordan零积的映射,进而给出了von Neumann代数上*-同构的等价刻画. 1. 刻画von Neumann代数上完全保skew Lie零积的映射.设A是没有交换中心投影的von Neumann代数. 若Φ:A→A是一个满射. 则下列叙述等价: (1)Φ是双边2-保skew Lie零积的映射; (2)Φ是完全保skew Lie零积的映射; (3) 存在中心元Z∈Z(A) 使得 Ψ =ZΦ=Ψ1+Ψ2，其中 Ψ1|PAP是线性 *-同构,Ψ2|(I-P)A(I-P)是共轭线性*-同构. 2. 刻画 von Neumann代数上完全保斜 Jordan零积的映射. 设A是没有交换中心投影的von Neumann代数. 若Φ:A→A是一个满射. 则下列叙述等价: (1)Φ是双边2-保斜Jordan零积的映射; (2)Φ是完全保斜Jordan零积的映射; (3)存在中心元Z∈ Z(A)使得 Θ =ZΦ=Θ1+Θ2 ，其中 Θ1|PAP是线性*-同构,Θ2|(I-P)A(I-P)是共轭线性*-同构.

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2015510788