二阶电磁波动方程的能量守恒性和差分方法的能量守恒性研究

摘要

能量守恒是电磁场的一个重要性质，是研究麦克斯韦方程及其数值方法的一项重要研究内容。本文基于已有的对麦克斯韦方程一般形式的能量守恒性研究，主要研究了麦克斯韦方程的二阶波动方程形式及其差分方法的能量守恒性。 研究内容有：首先，研究了二阶电磁波动方程的能量守恒性，推导并提出了二阶波动方程关于H^1，H^2，H^3范数的能量恒等式，揭示电磁场存在的新守恒性质。在此基础上，研究了一维二阶波动方程差分格式的能量守恒性和误差，证明了该格式关于新能量守恒律是守恒的、二阶收敛的，数值实验证实了理论分析的结论。 其次，推导出了一维一般形式的麦克斯韦方程关于理想导体边界条件和周期性边界条件的新能量恒等式，证明了电磁场关于H^1，H^2范数是能量守恒的，利用新能量方法研究了一维麦克斯韦方程（一般形式）的CN-FDTD格式，给出了数值能量恒等式，证明了CN-FDTD格式在离散H^1和H^2范数下是守恒、二阶收敛，数值实验证实了理论分析的结果。 最后，我们研究了二维麦克斯韦方程分裂有限差分方法的误差校正问题。在已有的分裂时域有限差分方法（S-TDTDI和S-FDTDII）的基础上，通过修改减少分裂误差的摄动项，提出两种修正分裂有限差分方法（MS-FDTDI格式和MS-FDTDII格式），推导出了这两种格式的数值能量恒等式，通过傅里叶方法证明了这两种格式的稳定性并推导出数值弥散关系式。数值实验验证了数值能量恒等式和误差估计，并且发现MS-FDTDI格式比S-FDTDII格式具有更小的数值弥散误差。

目录

声明

第一章 绪论

1.1 问题来源

1.2 研究现状

1.3 研究内容

第二章 二阶电磁波动方程及其有限差分方法的能量守恒性

2.1 二阶电磁波动方程的能量恒等式

2.2 二阶中心差分格式及其能量恒等式

2.2.1 二阶中心差分格式和求解方法

2.2.2 能量恒等式的推导及稳定性分析

2.3 误差估计

2.4 数值验证

2.4.1 模型问题

2.4.2 验证离散H 1半范数、H 2半范数和H 3半范数下的数值能量恒等式

第三章 一维麦克斯韦方程及其差分格式的能量守恒性

3.1 一维麦克斯韦方程的能量恒等式

3.2 差分格式及其能量恒等式

3.2.1 差分格式和求解方法

3.2.2 能量恒等式的推导及稳定性分析

3.3 误差估计

3.4 数值验证

3.4.1 模型问题

3.4.2 验证离散L2、H 1和H 2范数下的数值能量恒等式

第四章 二维麦克斯韦方程的修正分裂时域有限差分格式

4.1 MS-FDTDI和MS-FDTDII格式及其求解过程

4.2 MS-FDTDI和MS-FDTDII格式的能量恒等式和稳定性分析

4.3 MS-FDTDI和MS-FDTDII格式的数值弥散性分析

4.3.1 增长因子和耗散性

4.3.2 数值弥散关系式

4.3.3 数值弥散误差

4.4 数值验证

4.4.1 模型问题

4.4.2 MS-FDTDI格式和MS-FDTDII格式的能量守恒性的验证

第五章 结论与展望

参考文献

攻读硕士学位期间成果

致谢