解三类非线性方程的基于分片光滑Lagrange型插值的Galerkin方法

摘要

本文分为三部分，分别研究正则长波 (RLW) 方程， Korteweg-de Vries (KdV)方程和非线性Klein-Gordon(NKG)方程的数值解法。 KdV方程和RLW方程是在研究水波、等离子物理等问题时提出的两类非线性发展方程。 KdV方程最早由 Korteweg和de Vries<'[1]>提出，由于其良好的性质而得到广泛研究。Peregrine<'[2]>在研究水波传播问题时，为代替KdV方程提出了RLW方程，在后来的文献中证明，在水波的传播、等离子体波等一些物理现象的研究中，RLW方程可作为KdV方程的一个修正模型，而且较KdV方程， RLW方程具有更好的数学性质，从此得到了广泛的研究。 对于这两类方程，部分文献曾给出其某些特定条件下的解析解，但由于只有小部分方程能够用解析的方法求解，因此研究其数值解法就显得尤为重要。对于RLW方程，目前国内外已有不少的数值解法，早期的算法以差分方法为主，该算法计算简单，计算量小，但是精度不高，于是许多学者将有限元方法应用到正则长波方程的求解中，陆续提出了 B-样条有限元法、Petrov-Galerkin方法、Fourier-Galerkin-Center Euler 方法等。这些方法提高了数值解的精度，但是计算较为复杂，例如利用B-样条有限元法计算时，由于B-样条不足结点基函数，会给计算造成很多的不便。在本文中，我们构造了一种分片光滑的Lagrange插值型多项式空间，并作为试探函数及检验函数空间，对RLW方程进行求解，由于我们所用的基函数为结点基函数，并且易求导，因此计算简单，实验结果表明此方法对解的精度也有一定提高。 对于KdV方程，目前应用最广泛的数值方法是谱方法，谱方法用于求解KdV方程有几大优点：对光滑函数指数性逼近的谱精度、无相位误差等，但是，用谱方法求解KdV方程计算过于复杂，不易求解。因此，本文利用Galerkin有限元法求解KdV方程。我们注意到，由于KdV方程是一个三阶的偏微分方程，因此在利用有限元求解时，必须在H<'2>空间中选取基函数，而本文构造的基函数空间恰好满足这一要求，而且通过实验可以证明，Galerkin有限元法用于求解KdV方程可以得到较满意的精度。 正则长波方程和KdV方程都有一个重要的性质，就是具有孤立波解，孤立波的碰撞会产生新的孤立波，并且这些波能在传播中，甚至在碰撞后保持波形不变。另外，孤立波解满足守恒性，已经证明RLW方程有三个守恒量，而KdV方程有无穷多个守恒量，在本文中，我们模拟了单孤立波的传播及多孤立子的碰撞试验。数值结果验证了RLW方程孤波解三个守恒量的数值守恒性。对KdV方程，选取其中比较重要的三个守恒量验证了孤波解的数值守恒性。 klein-Gordon方程在研究旋转波、非线性光学和其他一些数学物理问题中有着许多重要的应用。已有许多文献对该方程进行了研究，数值方法研究主要有差分方法，有限元法等。本文在所构造的分片光滑Lagrange型插值多项式空间中利用Galerkin方法对NKG方程进行求解，并进行数值实验，将数值解与精确解、本文格式与文献[36]的差分格式所得的数值结果进行了比较，结果表明本文格式保持Klein-Gordon方程的守恒性质，是精确有效的。 本文第一章分析了正则长波方程的Galerkin有限元方法。在本章中，我们在所构造的分片光滑Lagrange型插值多项式空间中，利用Galerkin有限元方法对正则长波方程进行数值求解，给出误差估计并进行数值实验。通过比较误差的L<,2>及L<,∞>范数，我们看到，本章所用方法在计算精度上有一定改进，而解的守恒性有很大提高。另外，我们还模拟了孤立波的发展、碰撞及Maxwellian初始条件的发展，取得了满意的数值结果。 第二章分析了Korteweg-de vries方程的Galerkin有限元法。在本章中，利用第一章中构造的光滑分片多项式空间，利用Galerkin有限元法对Korteweg-de Vries方程进行数值求解，第一节构造了数值格式，第二节分析了格式的线性稳定性，第三节进行了数值实验，数值实验包括小参数KdV方程的小时间区间解的传播和长时间区间的数值解模拟，通过模拟孤立波的传播、几个孤立波的碰撞等大量实验检验了方法的精度、数值解的守恒性，取得了非常满意的结果。 第三章分析了Klein-Gordon方程的Galerkin有限元法。依然在第一章构造的光滑分片多项式空间中利用Galerkin方法对NKG方程进行求解，第一节构造数值格式，第二节通过分析证明所构造格式是能量守恒的，并给出近似解的有界性及收敛性证明，第三节给出了两个数值实验，通过比较数值解与精确解、本文格式与文献[36]的差分格式所得的数值结果说明，对于求解Klein-Gordon方程本文格式是有效的，并且提供了更高的精度。

目录

文摘

英文文摘

独创声明及学位论文版权使用授权书

引言

第一章正则长波方程的Galerkin有限元法

§1.1数值格式

§1.2误差估计

§1.3数值实验

§1.3.1孤立波的传播

§1.3.2孤立波的碰撞

§1.3.3 Maxwellian初始条件的数值解

§1.4本章小结

第二章KdV方程的Galerkin有限元法

§2.1数值格式

§2.2线性稳定性分析

§2.3数值实验

§2.3.1小参数KdV方程的小时间解

§2.3.2 KdV方程的长时间数值模拟

§2.4本章小结

第三章Klein-Gordon方程的Galerkin方法

§3.1 Galerkin格式

§3.2近似解的估计及收敛性分析

§3.3数值实验

§3.4本章小结

参考文献

致谢