分数阶微积分在振子方面的某些应用

摘要

分数阶微积分是一门刚发展起来的数学分支。它的出现是由于人们对一些物理或数学问题用以前的理论无法得到合理的解释而发展起来的一种新的理论。分数阶微积分被认为是一种迄今为止最能把现实世界和数学理论结合在一起的一种新的数学工具。它已经被广泛的应用于物理,生物,医药,社会等领域,并取得了较大的成果。
　　论文在第一章分析了分数阶微积分的起源和发展,它需要的基础理论。
　　论文在第二章总结了分数阶微积分在振子上的几种应用。从而看出了当模型用分数阶微积分去改进以后出现的新的特性,如能量的变化,速度的新特性,振幅的变化等等。
　　在最后一章论文总结了分数阶情形下新的速度和加速度的定义(分别用v_f,a_f表示),然后论文用速度做时间t的函数建立了振动动力学方程,求出了解并分析了它的近似形式,然后经变换得到了分速阶情形下的加速度a_f并对其进行了分析。论文最后把分数阶内摩擦和分数阶外摩擦用一个分数阶变量γ在动力学方程上进行了统一,求出了方程的解并进行了分析。

目录

摘要

ABSTRACT

符号说明

第一章 分数阶微积分的预备知识和基本概念

§1.1 分数阶微积分的起源

§1.2 与分数阶微积分相关的数学工具

1.2.1 Gamma函数

1.2.2 拉普拉斯变换和卷积

1.2.3 Mittag-Leffler函数

1.2.4 Fox函数

§1.3 分数阶积分

§1.4 分数阶微分

§1.5 其他分数阶微积分定义

第二章 分数阶微积分在振子方面的应用

§2.1 简谐振子的振动原理

§2.2 阻尼振动

§2.3 受迫振动

§2.4 分数阶微积分在振子上的应用

2.4.1 分数阶微积分在振子上的应用之一

2.4.2 分数阶微积分在振子上的应用之二

2.4.3 分数阶微积分在振子上的应用之三

2.4.4 分数阶微积分在振子上的应用之四

第三章 分数阶微积分在振子方面的扩展和应用

§3.1 分数阶振子情形下对加速度和速度的重新认识

§3.2 以速度为未知变量构建分数阶振动方程

§3.3 分数阶内摩擦和分数阶外摩擦形式上的统一

3.3.1 分数阶振子和谐振子组成的两自由度振动方程

3.3.2 有分数阶外阻尼的振动方程

3.3.3 内阻尼和外阻尼的统一

§3.4 总结

参考文献及我发表的综述

致谢

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