时间尺度上Hamilton系统的GKN理论及谱理论

摘要

经典力学有三种等价的数学形式体系：Newton力学体系,Lagrange力学体系,Hamilton力学体系,其中Hamilton体系具有突出的对称形式。运动的规律性在Hamilton形式下表现得最明显,而且Hamilton形式有远比Newton形式更广的遍在性和普适性,一切守恒的真实物理过程都可以表示为Hamilton体系,无论这些过程是经典的,量子的还是相对论的,无论其自由度是有限的还是无限的,总能表现为适当的Hamilton形式。因此Hamilton系统在数理科学,生命科学以及其它的许多科学领域,特别是量子力学,生物工程中有着非常重要的应用,对连续Hamilton系统基本理论的研究已有很久的历史了,对离散Hamilton系统的研究是近三十几年的事。随着信息技术的发展以及数字计算机的广泛应用,出现了很多以离散Hamilton系统为支撑的数学模型,对离散Hamilton系统理论的研究也吸引了越来越多人的关注,离散系统理论与其对应的连续系统理论有许多相似的地方,但也有许多不同之处。这种差异性丰富了整个理论,同时也使得人们对许多连续系统及其相应的离散系统分别加以研究。
　　对离散系统的研究,尽管有独立性,但连续系统与离散系统在理论上还是有一种惊人的相似性或者对偶性,离散系统中的很多结果或多或少与其对应的连续系统类似,并且可以通过对其相应的连续结果离散化得到。1988年,德国的Stefan Hilger在他的博士论文中首次提出了测度链(Measure chains)分析,即一个把连续与离散分析统一的数学方法。1990年Hilger和他的导师首次研究了非齐次时间尺度上的动态过程,此文发表后受到数学家的广泛关注。近年发展起来的时间尺度上的动力系统为我们提供了同时研究离散系统与连续系统所需要的一种数学方法。作为两个极端的例子,当时间尺度是实数集时,对应的动力系统就是微分系统,当时间尺度是整数集时,对应的动力系统就是差分系统。就此而言,时间尺度上的动力系统把微分系统和差分系统统一起来,避免了对一些同样问题的重复研究。另一方面,时间尺度的复杂性,大大丰富了动力系统的研究内容,它不仅为我们的研究提供了新的强有力的理论工具,而且使我们能够更清楚地理解连续与离散系统以及其他复杂系统中的本质问题。
　　时间尺度上动力系统是一门很新的学科,在这一领域的研究发展非常迅

目录

中文部分

中文摘要

英文摘要

符号说明

第一章 预备知识

1.1 时间尺度的有关预备知识

1.2 有关线性算子的基本概念

第二章 时间尺度上Hamilton系统的GKN理论

2.1 引言

2.2 辛空间与Lagrange子空间

2.3 时间尺度上Hamilton系统解的基本理论

2.4 最大算子与最小算子

2.5 时间尺度上Hamilton系统的GKN理论

第三章 时间尺度上多Hamilton系统的GKN理论

3.1 最大算子和最小算子

3.2 最小算子的所有自伴扩张的复辛几何刻划

第四章 辛几何应用于时间尺度上Hamilton系统的边值问题

4.1 边值辛空间的直和分解与边值条件的辛几何描述

4.2 自伴扩张的边值条件分类

第五章 时间尺度上Hamilton系统的Titchmarsh-Weyl理论

5.1 正则Hamilton系统的谱问题

5.2 Titchmarsh-Weyl圆的构造

5.3 平方Δ-可积解

5.4 时间尺度上的Hamilton系统的分类

第六章 时间尺度上Hamilton系统的谱理论

6.1 极限点情形下奇异Hamilton系统的M(λ)理论

6.2 极限点情况下Hamilton系统的谱理论

6.3 极限圆型下M(λ)理论

第七章 时间尺度上Hamilton系统的边值问题

参考文献

发表和完成的论文

致谢

作者简介

学位论文评阅及答辩情况表

英文部分

English abstract

Chinese abstract

Notation index

Chapter 1. Preliminaries

1.1 Some Preliminaries on Time Sales

1.2 Basic Concepts of Linear Operator

Chapter 2. The GKN Theory of Hamiltonian Systems on Time Scales

2.1 Introduction

2.2 Symplectic Space and Lagrangian Subspace

2.3 The Fundamental Theory of Hamiltonian System on Time Scales

2.4 Maximal Operator and Minimal Operator

2.5 The GKN Theory of Hamiltonian Systems on Time Scales

Chapter 3. The GKN Theory of Multi-Hamiltonian Systems on Time Scales

3.1 Maximal Operator and Minimal Operator

3.2 Complex Symplectic Geometry Characterization of all Self-adjoint Extensions of the Minimal Operator

Chapter 4. Symplectic Geometry Applied to BVP of Hamiltonian Systems on Time Scales

4.1 The Direct Decomposition of the Boundary Space and Smplectic Geometric Portrait of Boundary Conditions

4.2 Classification of all Boundary Conditions for Self-adjoint Extension

Chapter 5. The Titchmarsh-Weyl Theory of Hamiltonian Systems on Time Scales

5.1 The Spectral Problem of Regular Hamiltonian Systems on Time Scales

5.2 Construction of Titchmarsh-Weyl Circle

5.3 Square △-Integrable Solutions

5.4 Classification of Hamiltonian Systems on Time Scales

Chapter 6. The Spectral Theory of Hamiltonian Systems on Time Scales

6.1 M(λ) Theory for Singular Hamiltoman Systems in Limit Point Case

6.2 On the Spectrum of Hamiltonian Systems in Limit Point Case

6.3 M(λ) Theory in the Limit Circle Case

Chapter 7. On the Boundary Value Problems of Hamiltonian Dynamic Systems on Time Scales

Bibliography

Acknowledgements

Curriculum Vitae

学位论文评阅及答辩情况表