离散动力系统混沌理论

摘要

混沌(chaos)是非线性科学研究的中心内容之一，是非线性动力系统中普遍存在的一种运动形式，它广泛地存在于自然界，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及工程技术、社会科学等各领域．一般而言，混沌是指在确定性的系统中，不需要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的动力学行为(内在随机性)．混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感．因此，从长期意义上讲，系统的行为是不可预测的． 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基础上发展起来的新兴交叉学科．混沌突破了不同学科之间的界线，是涉及系统总体本质的一门新兴科学．著名物理学家J．Ford认为混沌是20世纪物理学中继量子力学和相对论之后的第三次革命． 尽管科学界对混沌已经认真地研究了近半个世纪，但是至今还没有一个统一的数学定义．这是因为混沌系统非常复杂，从不同的角度理解会有不同的内涵．对离散动力系统，数学上常用的混沌定义包括：Li-Yorke意义下混沌[67]、Devaney意义下混沌及Wiggins意义下混沌．对连续动力系统，数学上常用的混沌定义为Smalle马蹄意义下混沌[105]．物理和工程上常用的混沌判据是其有界性并存在正的Lyapunov指数或正的拓扑熵．一般认为，混沌具有如下一些主要特征：确定性、有界性、对初值的极端敏感依赖性、长期不可预测性、正的最大Lyapunov指数、无限宽频功率谱和遍历性等. 从混沌的研究方向来看，混沌的研究大体上可以分为四个方面；混沌判定(criteria of chaos)、混沌控制(control of chaos)、混沌反控制(或混沌化)(anti-control of chaos或chaotification)和混沌同步(synchronization of chaos)．其中，后三种混沌研究都属于广义混沌控制的范畴．从混沌动力学自身发展逻辑看，确定性混沌的研究大体上经历了三个阶段：一是从有序到混沌，研究混沌产生的条件、机制和途径；二是混沌中的有序，研究混沌的普适性、统计特征及分形结构等；三是从混沌到有序．在这种意义下，可以认为控制混沌的研究标志着混沌研究进入了一个新的阶段，控制混沌是混沌理论走向应用的第一步．控制混沌可以在混沌有害时消除混沌，在混沌有益时产生混沌。 在混沌判定方面，目前已取得了许多丰硕的成果.例如，对连续的区间映射，有Li-Yorke得到的

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

原创性声明及关于学位论文使用授权的声明

第一章混沌的研究进展和预备知识

§1.1混沌的研究进展

§1.2预备知识

第二章连接扩张不动点异宿环导致混沌

§2.1引言

§2.2完备度量空间中连接扩张不动点异宿环导致混沌

§2.2.1准备工作

§2.2.2完备度量中的混沌判定

§2.2.3具有某种紧性的度量空间中的混沌判定

§2.2.4例子

§2.3 Banach空间中连接扩张不动点异宿环导致混沌

§2.3.1准备工作

§2.3.2主要结论

§2.4欧氏空间中连接扩张不动点异宿环导致混沌

§2.4.1准备工作

§2.4.2主要结论

§2.4.3例子

第三章一类时滞差分方程的稳定性和混沌判定

§3.1引言

§3.2一类时滞差分方程的稳定性和混沌判定

§3.2.1问题的转化和基本概念

§3.2.2不动点的稳定性和混沌判定

§3.3两类特殊时滞差分方程的稳定性和混沌判定

§3.3.1方程(3.1.6)的稳定性和混沌判定

§3.3.2方程(3.1.7)的稳定性和混沌判定

第四章混沌反控制

§4.1引言

§4.2基于连接扩张不动点异宿环的混沌反控制

§4.3线性时滞差分方程的混沌反控制

参考文献

致谢

读博期间发表及完成的论文

发表论文1

发表论文2