与SL(n,Z)上Maass尖形式的傅立叶系数有关的指数和的估计及相关结果

摘要

在解析数论中，SL(n，Z)上尖形式的傅立叶系数的性质是个非常重要的研究课题，著名的Ramanujan-Petersson猜想仍然是个没有解决的问题.这个猜想是说任何一个尖形式的第n个傅立叶系数的上界都不会超过nε，其中ε＞0是任意小的数.对于SL(2，Z)上的全纯尖形式，1974年Deligne把这个猜想当做Weil猜想的一个推论给出了证明.但是对于SL(2，Z)上其它的尖形式以及SL(n，Z)（n≥3）上的尖形式，这个问题仍然没有解决.但是从这些傅立叶系数的平均取值来看，Ramanujan-Petersson猜想是成立的.例如，设f是SL(2，Z)上的Maass尖形式，则有下面的估计:∑n≤Xλf（n）＜＜X1/3+ε，其中λf（n）是SL(2，Z)上尖形式f正规化后的傅立叶系数.这表明尖形式的傅立叶系数具有很强的振荡性.因此虽然对单个傅立叶系数还不能证明猜想的一致上界，但是它们的均值却往往有很好的上界估计.这些均值估计有很好的应用并且通过均值估计可以对傅立叶系数有更深刻地理解.
　　最近任和叶在文章中考虑了形如∑X＜n≤2Xλf（n）e（αnβ）的指数和估计，其中λf（n）是SL(2，Z)上权为k的全纯尖形式正规化后的傅立叶系数，证明了当β≠1/2时此指数和上界为Oα（Xmax（β，1/2-β/4）+ε），并且在β=1/2而且|α|接近于2√q（q是正整数）时有渐近公式.
　　对于f（n）是SL(2，Z)上Maass尖形式的情形，文章中没有给出估计.在本文中，我们将首先考虑这个问题，即估计如下形式的指数和:S(X)=∑X＜n≤Xλg（n）e（αnβ），(0.1)其中e(z)=e2πiz，λg(n)是SL(2，Z)上特征值为1/4+r2的Maass尖形式正规化后的傅立叶系数.
　　我们的主要结果如下:
　　定理1.1设X＞1，0＜β＜1.如果|α|βXβ＜√X/2，则有估计∑X＜n≤2Xλg(n)e（αnβ）＜＜(τ),εX71/192+ε.如果|α|βXβ≥√X/2，则有∑X＜n≤2Xλg(n)e（αnβ），｛＜＜r|2β-1|-1/2（|α|βXβ），β≠1/2，=εα，qd（α，q）X3/4λg(q)q-1/4+Or，ε（|α|23/32+εX1/4+X71/192+ε，β=1/2,其中εα，q=1或0取决于是否存在整数q满足‖α|-2√q|≤X-1/2且1≤|α|＜√X.上式中1-sgn(α)id(α，q)=1-sgn(α)i/2∫21u-1/4e(sgn(α)（|α|-2√q）√uX)du.特别地，对于任意的整数1≤q＜X/4，我们有∑X＜n≤2Xλg(n)e（±2√qn）=2/3（23/4-1）（1(±)i）X3/4λg(q)q-1/4+Or,ε（q23/64+εX1/4+X71/192+ε）.
　　我们注意到，此定理中第一种情况的上界为X71/192+ε，这里71/192是由单个傅立叶系数的上界得到的.我们知道对于全纯的尖形式，Ramanujan-Petersson猜想是成立的，即对任意的ε＞0，有λf(n)＜＜nε.但是对于Maass尖形式，我们所知道的最好的上界是λg（n）≤n7/64+ε，定理1.1的71/192即由此上界得到.如果Maass尖形式的Ramanujan-Petersson猜想成立，则我们可以得到跟全纯尖形式一样好的上界.定理1.1的证明方法与文中证明全纯尖形式的方法类似.所用到的主要工具为Voronoi公式，以及贝塞尔函数的渐近展开等.
　　通过定理1.1的证明方法我们发现，对于有类似的Voronoi公式的其它算术函数，我们也可以考虑有关的指数函数和的估计，并证明类似地结果.在本文中我们考虑了除数函数(τ)（n）以及算术函数r(n)=＃{(x，y)∈Z2|x2+y2=n}，给出下面两个定理:
　　定理1.2如果|α|βXβ＜√X/2，则有∑X＜n≤2X(τ)(n)e（αnβ）＜＜（|α|βXβ）-1XlogX.如果|α|βXβ≥√X/2，则有∑X＜n≤2X(τ)(n)e（αnβ），｛＜＜ε|2β-1|-1/2(|α|βXβ)1+ε,β≠1/2,=εα，qd(α,q)X3/4(τ)(q)q-1/4+Oε|α|1/2X1/4+ε+|α|-1X1/2+ε，β=1/2,其中εα，q和d（α，q）如定理1.1中所定义.特别地，对任意的整数1≤q＜X/4，我们有∑X＜n≤2X(τ)（n）e（±2√qn）=2/3（23/4-1）(1(±)i)X3/4(τ)（q）q-1/4+Oε（q1/4X1/4+ε+q-1/2X1/2+ε）.
　　定理1.3如果|α|βXβ＜√X/2，则有∑X＜n≤2Xr(n)e(αnβ)＜＜(|α|βXβ)-1X.
　　如果|α|βXβ≥√X/2，则有∑X＜n≤2Xr(n)e(αnβ），｛＜＜ε|2β-1|-1/2(|α|βXβ)1+ε,β≠1/2,=ε*α,q(Q)(α,q)X3/4(τ)(q)q-1/4+Oε(|α|1/2X1/4+ε+|α|-1X1/2+ε),β=1/2,其中ε*α，q=1或0取决于是否存在q满足‖α|-√q|≤X-1/2且1≤|α|＜√X/4.(Q)（α，q）=√2/4(1+sgn(α)j)∫21u-1/4e(sgn(α)（|α|-√q）√uX）du.特别地，对于整数1≤q＜X/16，我们有∑X＜n≤2Xr(n)e（±√qn）=√2/3（23/4-1）(1±i)X3/4r（q）q-1/4+Oε（q1/4X1/4+ε+q-1/2X1/2+ε）.
　　利用证明定理1.2和定理1.3的估计方法，我们发现于全纯的尖形式，我们可以将文中的结果进行改进，即有如下定理:
　　定理1.4假设f(z)是SL(2，Z)上权为k的全纯尖形式，λf(n)是f(z)的n阶傅立叶系数.如果|α|βXβ＜√X/2，则有∑X＜n≤2Xλf（n）e（αnβ）＜＜εX1/3+ε.如果|α|βXβ≥√X/2，则当β≠1/2时，有∑X＜n≤2Xλf(n)e（αnβ）＜＜ε|2β-1|-1/2（|α|βXβ）1+ε.
　　与文中的结果相比较，在定理1.4中我们把上界由Xmax{β,1/2-β/4}+ε改进到了X1/3+ε.
　　本文的第二部分内容将考虑SL(3，Z)上的Maass形式f的傅立叶系数Af(m，n)有关的如下加权指数和:S(X,α,β)=∑n∈ZAf(m,n)e(αnβ)φ（n/X），(0.2)其中φ（x）是光滑紧支函数，支集为[1/4，5/4]上，在区间[1/2，1]上恒为1，并且导数满足:φ(j)(x)＜＜j1，j=0，1，2，…
　　对这个问题，任和叶证明了当max{2max{β,1/3}αβ，1}m1/3≤X1/3-β时，S(X，α，β)＜＜X-A，这里隐含的常数依赖于f，A和β的.
　　利用文中的方法并结合Pitt的方法，我们将证明如下定理:
　　定理1.5设f是SL(3，Z)上的Maass尖形式，Af(m，n)为f的傅立叶系数，X＞9.如果|α|βm1/2≤4β-2X1/12-β，0＜β＜1/2则对任意大的A和任意小的ε＞0，我们有S(X，α，β)＜＜m5/14+εX-A，这里隐含的常数仅依赖于f，A和ε.
　　定理1.5的证明需要用SL(3，Z)上的Voronoi公式及其渐近展开以及δ符号的性质等.
　　本文第一章将简单介绍SL(2,Z)以及SL(3，Z)上Maass形式及其傅立叶系数，并给出我们的主要结果.第二章将给出定理1.2-1.4的证明，第三章将给出定理1.5的证明.