解大规模非对称矩阵特征问题的精化Jacobi-Davidson类算法

摘要

在许多科学与工程计算中经常必需数值求解大规模矩阵特征问题,理论分析和大量的数值实验已经表明了求解此类问题的经典正交投影方法存在着Ritz值收敛而Ritz向量不收敛的严重隐患,为此,贾对经典正交投影方法进行了重大革新,使用精化向量取代Ritz向量作为待求特征向量的近似值,由此导出的精化投影方法不但克服了正交投影方法的隐患,使得算法的可靠性增强,而且收敛的速度也大大加快.进一步将精化策略和求解大规模矩阵问题的其它重要技术相结合,研究和开发出更多更高效的新算法,是一个十分重要而且迫切需要解决的课题.该文正是在这一思想的引导下,对Jacobi-Davidson类方法进行了研究,全文共分四章:第一章介绍大规模非对称矩阵特征问题的来源、解决这类问题的基本方法以及该学科的发展现状、最后介绍该文所作的工作.第二章结合精化投影方法,对Jacobi-Davidson方法主要进行了两方面工作:第一,使用精化向量对修正方程组进行改进,以使求解子空间能够包含更多特征向量信息;第二,对重新启动方式进行改造,在重新开始时使用精化向量构筑新子空间的基底,这样做能够保留更多的已得到的特征向量信息,使方法收敛速度加快.数值实验对精化Jacobi-Davidson方法与Jacobi-Davidson方法进行了比较,结果表明新算法的有效性.还对Jacobi-Davidson方法的修正方程的求解性质进行研究,数值实验也显示了精化方法比常规方法在修正方程组在求解上具有优势.第三章研究了精化调和Rayleigh-Ritz方法,对调和Jacobi-Davidson方法进行了改进,建立了新的修正方程组,得到精化调和Jacobi-Davidson方法.对精化调和Jacobi-Davidson方法的重新启动进行研究,给出了稠密重新启动的精化调和Jacobi-Davidson算法.数值实验将这种方法与调和Jacobi-Davidson及精化Jacobi-Davidson方法进行了比较.第四章奇异值问题在数值计算上要转化为特征问题进行计算,在[46]中提出对增广矩阵使用Jacobi-Davidson方法来计算,并利用增广矩阵的特殊结构,提出JDSVD方法.该文对JDSVD方法进行了改进,利用精化方法计算近似奇异向量,并用它对修正方程进行改造,加快收敛速度.

目录

文摘

英文文摘

第一章前言

§1.1问题的来源

§1.2投影方法

§1.2.1 正交投影方法

§1.2.2斜投影方法

§1.2.3精化投影方法

§1.3本文的工作

第二章解大规模矩阵特征问题的精化Jacobi-Davidson方法

§2.1引言

§2.2 Jacobi-Davidson方法

§2.2.1 Davidson方法

§2.2.2 Jacobi-Davidson方法

§2.2.3压缩技术与重新启动技术

§2.3精化Jacobi-Davidson方法

§2.3.1精化投影方法

§2.3.2精化Jacobi-Davidson方法

§2.3.3实际计算

§2.4修正方程的求解

§2.5数值实验

第三章精化调和的Jacobi-Davidson方法

§3.1引言

§3.2调和Jacobi-Davidson方法

§3.2.1调和Rayleigh-Ritz方法

§3.2.2调和Jacobi-Davidson方法

§3.3精化调和Jacobi-Davidson方法

§3.3.1精化调和Rayleigh-Ritz方法

§3.3.2精化调和Jacobi-Davidson方法

§3.4数值实验

第四章计算大规模矩阵部分奇异值分解的精化Jacobi-Davidson方法

§4.1引言

§4.2 JDSVD方法

§4.3计算奇异值分解的精化Jacobi-Davidson方法

§4.4数值实验

参考文献

创新点摘要

作者攻读博士期间完成论文

致谢