基于径向积分边界单元法及自适应积分方法的声场特征值及近场声学分析

摘要

对于稳态声学问题，Helmholtz方程的基本解是频率的函数，导致其边界元离散系数矩阵含有频率项，并且无法提取到系数矩阵之外，由此形成非线性特征值问题，不得不借助于逐步搜索法进行求解，因此传统声学边界单元法在处理声腔特征值问题时具有天生的缺陷。同时，传统声学边界单元法求解近场声学问题时，会遇到几乎奇异积分现象，此时被积函数剧烈震荡，导致高斯求积公式失效，无法获得准确的近场声学计算结果。本文围绕以上两点展开研究工作，完成的主要工作和创新性成果如下:
　　1)对于Helmholtz方程，采用与频率无关的Laplace方程基本解生成积分方程和边界积分方程。对于积分方程和边界积分方程中的域积分项，应用径向积分法将其转化为边界积分，保持了边界单元法只需要在边界离散的优点。将径向积分法扩展到复数域上的计算声学领域，发展了一种声场分析的径向积分边界单元法，消除了传统声学边界单元法中系数矩阵对频率的依赖，将绝对硬声学边界条件和混合声学边界条件下声腔特征值问题转化为广义特征值问题，克服了求解声腔特征值问题时双重互易法和特解积分法对近似函数特解的依赖，并且克服了多重互易法对增强型逐步搜索法的依赖。
　　2)传统声学边界单元法计算敷设多孔吸声材料声腔特征值问题时，非线性性质来自于以下两个方面:①系数矩阵对频率的非线性;②多孔吸声材料声阻抗边界条件对频率的非线性。传统声学边界单元法借助于围道积分法求解敷设多孔吸声材料声腔特征值问题时，计算可靠性依赖于围道积分参数，围道积分参数如选取不当将会导致伪特征值的出现。声学径向积分边界单元法消除了系数矩阵对频率的依赖，在上述工作的基础上，通过引入对声导纳的多项式逼近和状态空间法的表示形式，将敷设多孔吸声材料声腔特征值问题转化为广义特征值问题，克服了原问题的非线性性质。
　　3)当声辐射体为平面声源时，Helmholtz积分方程可以简化为Rayleigh积分方程，通过假定声辐射体微元到观察点的距离为坐标原点到观察点的距离，可以解析求出简单声源在Rayleigh积分下的解析解，上述假定意味着Rayleigh积分只能解析求得远场结果。即使假定平面辐射体上各点振速一致，将Rayleigh积分简化为嵌入到无限大刚性障板内活塞的声辐射问题，其近场解仍然无法解析求出。上述近场声学现象体现在传统声学边界单元法中，即几乎奇异积分现象，此时被积函数剧烈震荡，传统的高斯数值积分无法处理。从数学上看，几乎奇异积分是非奇异的，本文将基于单元子分自适应积分技术应用到近场声学边界单元法中，根据Davies&Bu准则和Gao&Davies准则计算所需的高斯积分点数目，如果超出给定的最大值，进行单元子分，通过引入子分单元内新旧坐标系变换雅克比，在不插值计算子分单元结点值的情况下计算几乎奇异积分，避免了不必要的中间结果的计算，提高了计算效率。