三类四阶常微分方程边值问题正解的存在性研究

摘要

常微分方程边值问题在理论和应用上，都有着非常重要的作用，它可以用来描述很多物理、生物和化学现象。目前，对常微分方程边值问题的研究大部分集中在二阶常微分方程两点边值问题或多点边值问题，并且边值条件大都为简单的类型，而研究高阶且复杂边值条件的常微分方程边值问题的文章还较少。 本文研究了三类广义的Sturm-Liouville型四阶非线性常微分方程边值问题，主要是针对广义的Sturm-Liouville型边值条件，在非线性项满足不同的条件或奇异等假设前提下，利用不同的证明方法，分别得到了三类四阶非线性常微分方程两点或四点边值问题正解的存在性结果、唯一存在性结果及多重正解性结果，从而获得了四阶边值问题有关于正解存在性的一些新的研究成果。本文共分为五章，第一章为绪论，叙述了本文所研究的四阶微分方程边值问题的研究背景、研究意义、本文所要研究的内容、研究方法以及处理此类问题时需要的一些定义与引理。第二章，利用Leray-Schauder不动点定理和Banach压缩映像原理，讨论了一类四阶四点边值问题正解的存在性与唯一存在性结论。第三章中，我们在非线性项满足四种非线性条件下研究了一类四阶两点边值问题正解的存在性，首先应用Krasnosellskii不动点定理得到该问题至少一个正解的存在性结果；再运用Krasnosellskii不动点定理的推论获得了该问题至少两个正解的存在性结果。在第四章中研究了一类四阶奇异常微分方程的边值问题，应用指数不动点定理和Leggett-Williams不动点定理给出了该问题至少一个和至少三个正解的存在性结果。第五章为结束语，对全文的内容进行总结，并对未来的工作进行设想。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1研究背景及意义

1.2本文的研究方法及研究结果

1.3预备知识

第二章 一类四阶四点Sturm-Liouville边值问题正解的存在性理论

2.1引言

2.2四阶四点边值问题正解的存在性定理

2.3四阶四点边值问题正解的唯一存在性定理

第三章一类四阶广义Sturm-Liouville边值问题正解的存在性理论

3.1引言

3.2四阶两点边值问题至少一个正解的存在性定理

3.3四阶两点边值问题至少两个正解的存在性定理

第四章一类四阶奇异Sturm-Liouville边值问题正解的存在性理论

4.1引言

4.2四阶奇异边值问题至少一个正解的存在性定理

4.3四阶奇异边值问题至少三个正解的存在性定理

第五章结束语

5.1全文总结

5.2未来设想

参考文献

在校期间的研究成果

致谢