数学直观的认知分析及对教学的启示

摘要

从心理学角度研究数学教学中的直观化始于20世纪70年代末，到了90年代，成为数学教育心理学研究的焦点。国外相关研究的取向可概括为以直观学习心理为中心和以直观课程与教学心理为中心，其中，就直观学习心理而言，又可分为认知风格与认知策略两个维度；国内相关研究则主要集中在认知策略维度的“影响因素”的讨论。相比之下，国内在数学直观化研究上存在如下空白：其一，就研究内容而言，一方面，影响因素只考虑了年级、数学能力等因素，缺少对问题本身的因素考虑，另一方面，缺少对直观思维的研究；其二，就研究层面而言，实证研究对象都集中在小学三、四、五年级，测试材料主要是算术应用题；其三，就研究方法而言，基本上是实证研究，缺乏揭示直观思维的认知心理过程的定性研究。
　　 首先，界定数学直观的涵义。在梳理与辨析国内外相关概念的基础上，提出数学直观的含义——以数学直观符号为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的一种认知方式。它包含直观表征层面和直观推理层面，两者共同构成了实证研究、经验研究与理论分析的考察维度。
　　 其次，围绕着“直观策略使用的影响因素”、“直观解题的认知过程”以及“不同空间推理能力使用直观策略的差异”等一系列问题，展开了实证研究、经验研究及基于此的理论研究。
　　 实证研究结果表明：(1)普通高中高一学生在解可直观化的常规数学问题时，并不喜欢使用直观策略，而是普遍使用言语分析策略；(2)普通高中高一学生在使用直观表征策略时，图式表征远多于图像表征；(3)在解常规数学问题时，学生是否选择使用直观策略与数学能力显著相关，但对于常规的可直观化问题，数学能力并不构成影响学生直观策略选择的显著因素；(4)在解常规数学问题时，学生是否选择使用直观策略与空间推理能力显著相关，中等空间推理能力组使用直观策略显著高于高空间推理能力组；(5)在解常规的可直观化问题中，难度与示意图显著影响学生对直观策略的使用，示意图显著影响学生的解题正确率。
　　 经验研究结果表明：(1)直观表征在言语分析与直观推理中发挥不同的作用——作为探究子目标的工具和探究总目标的工具；(2)言语分析解题与直观解题是两种独立的解题系统；(3)直观推理还包括了“整体把握图形元素”这一认知阶段，这一识别导致了对原有直观、分析模型的再修正；(4)中等空间推理能力组与高空间推理能力组在使用直观策略上的差异主要体现在直观表征的使用频数和性质上，但在直观表征的正确性上不存在差异。
　　 进一步地，从认知心理学的角度，以表征和推理作为两个切入点，对上述研究成果进行深入的理论研究。结论如下：(1)表征层面——数学直观表征的特点是突出数学图式，具有符号、记号与绘画功能；言语直观化类型分为同构、同胚、类比与图表，实现途径有直接运用数学对象的几何意义以及构造，言语直观化存在“表征固着”现象；(2)推理层面——言语分析与直观推理的主要区别是：新的算子的提取与新的直观表征的构建、主要操作语词符号与主要操作表象、搜索的低效、低准确性与搜索的高效、高准确性；直观推理中每一个认知阶段上的心理行为：整体把握图形元素阶段主要包括视知觉与直观判断，发掘新的信息阶段主要是操作性理解，对新信息的数学运演阶段蕴含了言语表征系统与表象系统内部的“加工”以及系统之间的“转换”。此外，在表征层面，鉴于不同认知风格的存在，提出了表象编码的“结构”性，直观型个体的表象结构良好。
　　 再次，在综合上述研究成果并同时考察直观教学已有研究现状的基础上，提出了数学直观教学策略——直观与言语相结合。它的基本假设是：在数学教学中，言语与直观相结合的教学方式较之于言语教学方式，将显著提高教学效果。它的具体措施包括：阐释抽象数学知识的几何意义；构建数学知识的言语表征网络与表象表征网络；延迟使用符号体系；鼓励学生直观推理；运用多样化的直观技术(结合数学教学案例进行分析)；搜集并阅读同构直观化的例子。其中，在构建数学知识的言语表征网络这一具体措施方面，提出了一个新的概念——思维路线图，以实现程序性知识的直观化，主要用于解题教学。与线性的言语分析相比，思维路线图是立体的、直观的。
　　 最后，对所提出的教学建议进行实验验证。受时间的限制，只进行了两项主要实验。第一项实验是对基本假设的验证，以概念教学课型为背景。结果表明，直观与言语相结合的教学方式在概念理解效率、概念运用效率上显著优于言语教学方式。第二项实验是对所提出的思维路线图的验证，以解题教学课型为背景。结果表明，在解题教学中使用思维路线图与言语分析结合的方法，能显著提高中等数学能力学生的问题解决成绩。

目录

文摘

英文文摘

前言

声明

第1章数学直观概念界定

1.1观点梳理

1.1.1涵义

1.1.2种属

1.2概念辨析

1.2.1直观与直觉

1.2.2直观与视觉

1.3数学直观的特点

1.3.1直观与数学学习活动

1.3.2直观与表征形式

第2章相关研究概述及问题提出

2.1数学直观理论研究概述

2.2数学直观化的主要研究取向

2.2.1以直观学习心理为中心的研究取向

2.2.2以数学直观教学心理为中心的研究取向

2.3本研究的问题提出及研究思路

2.3.1问题提出

2.3.2研究设计

第3章数学直观表征与推理的实证研究

3.1.直观策略使用的影响因素

3.1.1研究一　直观—言语表征策略的使用与数学能力、空间推理能力的关系

3.1.2研究二难度、示意图与数学能力对直观策略使用的影响

3.1.3小结

3.2使用直观策略解题的认知过程

3.2.1研究三直观策略与言语分析策略的比较

3.2.2研究四直观推理过程分析

3.2.3研究五两种不同空间推理能力学生使用直观策略的差异比较

第4章研究结论的综合分析与进一步的理论假设

4.1研究结论

4.1.1现状

4.1.2影响因素

4.1.3直观表征的形式与作用

4.1.4直观解题认知模式图

4.2数学直观表征的认知分析

4.2.1数学直观表征特点

4.2.2数学图式的表征功能

4.2.3言语直观化

4.2.4直观—言语表征偏好

4.2.5直观化中的“表征固着”

4.3数学直观解题认知模式分析

4.3.1直观解题认知模式的特点

4.3.2直观／分析模型的再修正

第5章数学直观教学分析

5.1数学直观教学之基础

5.1.1文化学意义上的基础

5.1.2认知心理学意义上的基础

5.1.3大教学意义上的基础

5.1.4数学学科意义上的基础

5.2数学直观教学之研究现状

5.2.1感性直观教学

5.2.2几何直观教学

5.2.3数学直观教学研究之述评

5.3数学直观教学之建议

5.3.1数学直观教学需解决的问题

5.3.2数学直观教学散见

5.3.3数学直观教学的一些基本命题

第6章基于数学直观教学的实验研究

6.1研究六“直观—言语”概念教学实验

6.1.1问题提出

6.1.2研究方法

6.1.3实验结果

6.1.4分析与讨论

6.1.5结论

6.2研究七“直观—言语”解题过程教学实验

6.2.1假说与假说之背景

6.2.2问题提出

6.2.3研究方法

6.2.4实验结果

6.2.5分析与讨论

6.2.6结论

结语

参考文献

附录

后记