树指标二阶齐次马氏链的等价定义及齐次可列马氏链的一类小偏差定理

摘要

树指标马氏链是树图与马氏链相融合而产生的一个新的数学理论体系，是一类重要的树指标随机过程。它已经成功吸引了数学家、生物学家、经济学家、计算机工作者等众多学者的广泛关注和研究热潮。有关的理论研究也已取得了显著的成果。程晓雪、杨卫国和王豹得出了有关它的一阶情形的等价概念。为了更好地方便理论研究，本文将前人的工作进行进一步推广到二阶，使定理的内容更加完整。
　　二十世纪八十年代末，Liu初次提出概率理论研究中的小偏差理论，并与Yang、Chen、Wang等合作进行详细探讨，极大地丰富了小偏差的理论内容，使之形成一个独立的研究分支。Yang探讨了任意N值随机变量序列关于m阶非齐次马氏链的一类小偏差理论。鉴于前辈的工作主要是有限状态情况，本文即将探讨的是可列状态下的随机变量序列关于齐次马氏链的一类小偏差定理，并以此探究更高难度-McMillanShannon定理。
　　本论文的研究工作主要是两个部分。第一部分，我们提出树指标二阶齐次Mar-kov链的等价概念，并给出证明，即第三章。此举是把先前的树指标一阶Markov链的等价概念进行推广。通过本节，读者可以更加清楚地了解树指标二阶齐次Markov链，以便将来更好地研究其相关的理论。第二部分，首先证明可列状态随机变量序列关于齐次Markov链的一类小偏差定理，接着探究有关可列齐次Markov链的-McMillanShannon定理，即第四章。在可列情形下，因为和与积分不再可以互相调换，所以前人研究有限状态的理论方法不再适用。我们突破前辈的有限状态理论，重新建立相关的强极限理论，然后反复利用它与条件概率的平滑性，这样就能成功地解决可列的情形。
　　本论文努力将前辈的成果进行推广，丰富了概率极限理论的内容,使得理论结果的应用更加广泛，因此本论文的研究很有理论意义与价值。