扩散Hamilton-Jacobi方程在高维区域边界上的单点梯度爆破

摘要

在本文中，我们考虑源自于KPZ模型的扩散Hamilton-Jacobi方程其中，p>2，Ω?Rn是有界光滑区域.由极值原理可以知道，方程的解有界.Souplet等人证明了对于—定的初值，△u在有限时刻爆破，并且爆破仅发生在边界?Ω上，本论文研究▽u在边界?Ω上的单点爆破问题.我们分别对于一类轴对称区域和单位球证明了若初值满足适当的条件，解的梯度爆破仅发生在单个边界点上，在§3.1中，记我们考虑下面的轴对称区域：Ω是轴对称区域，以xn为对称轴，对于这类轴对称区域，以及适当的初值，我们证明了▽u仅在原点爆破，在§3.2中，我们在单位球上考虑方程，我们证明了对于适当的初值，▽u仅在点（x1,x2，x3,…，xn）=（1,0,0，…0）爆破.