一维逆时热传导问题的数值解

摘要

在很多工程应用领域里，人们常常会遇到热传导方程的逆时问题．所谓逆时问题就是由某一时刻的温度场来求该时刻以前的温度分布。由于该问题是不适定的，求解此问题就需要利用正则化方法来求解。处理该问题的一个常用到的方法就是把原问题转化为求解第一类线性积分方程的问题，再利用正则化方法求解来解此方程。
　　 本文考虑热传导模型对应的逆时问题的数值求解。由于正向热传导问题的温度场是随时间呈现指数形式衰减的，因此要使逆时热传导问题能得到稳定和收敛的解，必须对初始温度函数u(x，0)附加某些先验条件。
　　 本文研究了两类问题：一是当系数a(x)为常系数时如何求解初始温度g(x)．对此问题我们把正则化方程转化为相对应的弱耦合方程组，再用一种线性分裂的迭代的形式来数值求解，而不是用常规的方法直接求解。而对方程中的正则化参数，本文则利用近年来发展起来的模型函数法方法来近似求解Morozve方程，以数值近似求解正则化参数。同时我们还分析了初始温度g(x)满足什么样的先验条件才可以得到解的收敛速度的估计，本文的第四章给出了相应的数值算例，取得了令人满意的数值结果。我们的数值结果表明，借助适当的选取正则化参数，即使初始温度场的震荡性和光滑性较弱，也能获得相对较好的重组结果，同时也验证了用迭代的形式求解的有效性。
　　 二是考虑a(x)是变系数的情形，初始温度g(x)的反演方案。在将此问题转化为第一类线性积分方程时，我们面临的一个问题就是如何给出积分核的显式形式。一般而言该函数只能通过数值方法求解。本文提出了一种确定核函数的级数展开法，为数值反演提供了理论基础。
　　 本文的工作总共分成四部分。首先介绍了逆时问题的背景，并将此问题归结于第一类算子方程的求解．其次，针对常系数热传导问题，根据其不适定性，利用Tikhonov正则化方法来求解（在求解过程中采用把正则化方程转化为对应的弱耦合方程组，进而利用迭代格式求解此方程组），而其中的正则化参数α是利用模型函数的方法来求解相容性原理后验确定的．该方法可以以很高的精度确定正则化参数，这是近年来发展起来的近似求解正则化参数的新方法在热传导反问题中的应用．其次我们讨论了变系数的带有第三类边界条件的逆时热传导问题，给出了问题的不适定性分析及对应的积分核函数的确定方法。最后为了检验提出反演方案的数值效果，给出了相关的数值例子．