自适应变系数模型中的局部多项式估计法

摘要

变系数模型是20世纪90年代发展起来的一种重要的统计模型.该模型最早是由Hastie，Tibshirani(1993)提出的.在非参数回归中，对函数的估计已有核估计、局部多项式估计、光滑样条估计、级数估计等，这些方法在处理一维数据时处理能力较好，但在高维分析中，由于高维领域所包含的样本数据显得稀疏，较难估计一般的多元函数.可是在实际生活中，我们经常遇到的是高维数据，高维数据分析是人们一直关心的问题，变系数模型是统计工作者针对处理高维数据时遇到的困难而提出的一种统计模型.它既部分保留了非参数回归的稳健性特点，又保留了线性模型的直观、容易解释等特点.
　　 本文研究的自适应变系数模型是一类重要的变系数模型，它是由Jianqing Fan，Qiwei Yao和Zongwu Cai(2000)提出的.在实践中，该模型已经被广泛地应用于医学、生物、经济学、金融保险等方面.
　　 自适应变系数模型如下：Yi=p∑j=0 gj(βT Xi)Xij i=1，2，…，n.其中{(Yi，Xi)｝n i=1是随机样本，未知量β∈Rp，Xi=(Xi1，Xi2，…，Xip)T，Xi0=1，{gj(·)｝p j=0是R上的一组可测函数.｛εi}n i=1是独立同分布的随机误差，且满足E(εi)=0，Var(εi)=σ2.
　　 变系数模型的估计理论已经较为完善，如：Jianqing Fan and ZhangW.Y(1999)给出了局部多项式的两步估计法；唐庆国，王金德(2005)提出了一步估计方法用以估计变系数模型中的具有不同光滑程度的未知系数函数；针对不太光滑的未知系数函数的估计，唐庆国(2007)提出了一种新的局部线性估计法.但是，关于自适应变系数模型的研究成果的文章还较少，因此，本文对于自适应变系数模型的估计的研究有一定的理论价值.
　　 相对于变系数模型的统计推断，自适应变系数模型中，除了要对其系数函数估计，还要对其投影方向进行估计，因此，变系数模型的推断方法不能直接应用于自适应变系数模型的推断.本文对自适应变系数模型的系数函数的估计进行了讨论，将局部多项式估计法运用到自适应变系数模型中系数函数的估计上来，并讨论了各个估计量的渐近性质，然后再对投影方向进行估计.
　　 主要内容如下：
　　 第一章，主要介绍了自适应变系数模型和一些非参数方法.
　　 第二章，首先，我们是在给定β的条件下，对于系数函数光滑程度相同时，用第一章中介绍的局部线性估计法给出其估计，并且证明了其渐近正态性.其次，在给定系数函数的条件下，对参数β进行了估计.
　　 第三章，在给定β的条件下，首先，对于光滑程度较高的第p个系数函数，我们用局部多项式估计法给出其一步与两步估计，分别计算了这两个估计的渐近偏差和渐近方差，并得出二步估计要优于一步估计的结论.其次，对于其他p-1个光滑程度较低的系数函数，用局部线性估计法也做了局部线性估计与二步估计，我们发现两种估计的渐近偏差相同，而用二步估计得到的估计的渐近方差都要小于局部线性估计的渐近方差，即二步估计要优于局部线性估计.最后，在给定系数函数的情况下，用一步迭代方法估计β.

目录

文摘

英文文摘

声明

1.绪论

1.1自适应变系数模型

1.2非参数方法

1.3本文的估计方法和主要结果

2.模型系数函数光滑程度相同时的估计

2.1模型

2.2系数函数的估计

2.3估计性质

2.4定理的证明

2.5 β的估计

3.模型系数函数光滑程度不相同时的估计

3.1模型

3.2系数函数的估计

3.3估计性质

3.4定理的证明

3.5 β的估计

结束语

参考文献

致谢