非线性高阶三点边值问题正解的存在性

摘要

利用锥理论和不动点定理，本文主要研究了一个非线性高阶三点边值问题以及含参数非线性高阶三点边值问题正解的存在性，给出了正解存在的充分条件. 全文共分三章: 第一章介绍了非线性高阶微分方程多点边值问题发展的历程，研究的背景和研究现状以及本文的主要工作. 第二章研究了非线性高阶微分方程三点边值问题正解的存在性. 本章将高阶微分方程边值问题降阶为两个边值问题，从而将问题简化来分析讨论. 在此过程中利用它们之间的关系建立相应格林函数的性质，利用锥拉伸锥压缩不动点定理得到了该问题存在正解的充分条件，接着还给出了该问题存在多解以及在所考虑的锥中无正解的判据. 所得结论不仅对非线性项的限制减弱，而且还改进和充实了别人的结果. 第三章研究了含参数非线性高阶微分方程三点边值问题正解的存在性. 本章是受上一章的一个例子的启发，进行了讨论. 我们先给出了一个重要的引理，将原问题转化成另一个等价的问题，并定义了一个新算子，对新的边值问题利用Sch¨auder不动点定理得到了该问题存在正解的充分条件，进而初步解决了方程含参数时的边值问题正解的存在性问题. 在第二章和第三章的最后，我们均给出了一些具体的例子，以说明结论的可行性.