牛顿线性搜索方法检验与求解双曲型二次特征值问题

摘要

二次特征值问题(QEPs):(λ2A+λB+C)x=0实际应用的范围非常广泛，而双曲型二次特征值问题是二次特征值问题的一种特殊分类.本文主要研究双曲型二次特征值问题和超阻尼二次特征值问题，了解他们的定义及相关性质，并利用他们的性质研究用简便的方法判断一个二次特征值问题是否为双曲型二次特征值问题和超阻尼二次特征值问题.双曲型二次特征值问题相对应的双曲型二次矩阵多项式Q(λ)=λ2A+λB+G,A,B,C∈Cn×n,A＞0是Hermitian矩阵多项式中的一种重要分类.双曲型二次特征值问题的一个重要特征是:这个问题的所有特征值都是实数.而超阻尼二次特征值问题是双曲型二次特征值问题中一种特殊形式:它的所有特征值都是非正实数.
　　根据双曲型和超阻尼(QEPs)特征值的特殊性质，我们可以通过求解二次特征值问题的所有特征值来判断是否为双曲型或者超阻尼二次特征值问题.本文主要将二次特征值问题转化成求解相对应矩阵方程的预解子(solvent)，并用牛顿线性搜索方法解二次特征值问题所对应的二次矩阵多项式AX2+BX+C=0然后求解预解子和相关矩阵类的特征值来得到(QEs)的所有特征值.从而检测出这个特征值问题是否为双曲型或者更进一步为超阻尼型二次特征值问题.
　　本文主要有三章，在文章的第一章，我们介绍了什么是二次特征值问题.在第二章我们介绍了二次特征值问题中的特殊分类:双曲型二次特征值问题和超阻尼二次特征值问题.并对相关性质做了阐述，同时根据特征值的性质给了有效算法来验证是否为双曲型二次特征值问题.在第三章，我们使用牛顿线性搜索方法求解矩阵方程的预解子，从而来求解二次特征值问题.在第三章我们首先确认了矩阵方程解的存在性，然后介绍了牛顿法，再在牛顿法的基础上转变为牛顿线性搜索的方法，并证明了它的二次收敛和全局收敛，在最后我们给出了牛顿线性搜索方法和参考文献[11]中矩阵循环消减法的对比.指出了对于一般二次特征值问题矩阵循环消减法是行不通的，即使对于双曲型二次特征值问题如果其中一步迭代中矩阵Bi奇异，那么矩阵循环消减法的迭代也不能顺利进行下去.对于超阻尼二次特征值问题B是正定，也不能保证矩阵循环消减法的适用性，因为迭代产生的一系列矩阵Ai和Ci可能无限增大，这样迭代就不能顺利进行下去.另一方面，矩阵方程解的精确性依赖于矩阵Bi的条件数，尽管在每步迭代中Bi正定，但也不能保证Bi不是病态的.由参考文献[11]中的定理我们可以看出矩阵循环消减法每步迭代中Bi的条件数依赖于λn\λn+1的比值，当λn～λn+1时，Bi的条件数可以为无穷大，因此精确性可能会降低.而对于使用牛顿线性搜索的方法来求解二次矩阵方程，要使迭代顺利进行下去，只需要每步Dx是非奇异的，而Dx非奇异要求A是非奇异的，由文章给出的定理我们可以看出，对于双曲型二次问题迭代一定能顺利进行下去，而且对于一般二次特征值问题我们也能求解，因此使用范围明显比上述所提到的矩阵循环迭代的方法要广的多，而当λn接近于λn+1时，我们所得到的X的精确度也比较高.最后用数值例子来验证牛顿线性搜索方法的优点.

目录

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摘要

第一章 二次特征值问题

第二章 双曲型二次特征值问题及其检测

2．1 双曲型二次特征值问题定义及相关定理

2．2 超阻尼二次特征值问题

第三章 求解二次特征值问题

3．1 引言

3．2 解矩阵方程

3．2．1 矩阵方程解的存在性

3．2．2 牛顿法

3．2．3 牛顿线性搜索

3．2．4 牛顿线性搜索的收敛性

3．2．5 两种算法比较

3．3 数值例子

3．4 小结

参考文献

致谢