空间高维分数阶扩散方程基于Kronecker积的预处理迭代算法

摘要

分数阶扩散方程在各个领域各个学科都越来越广泛地被运用，例如在物理学和生物学方面。对于分数阶扩散方程的求解问题，由于其很少有封闭的解析解，因此对数值解的研究相当重要。目前也已经有很多研究数值解的方法，例如谱方法、有限元方法和有限差分法等等。但是在计算其数值解时大多数都会产生一个稠密的系数矩阵，这就将耗费更多的计算成本占据更大的内存。 在此背景上，本文对其离散后的线性系统运用Kronecker积的性质对其进行Kronecker积分裂迭代，对Krylov子空间用预处理来进行加速，该方法可以求解二维和三维空间分数阶扩散方程，它降低了迭代过程的计算复杂度并减少了迭代次数，同时计算时间和内存也有所减少。 第一章首先是对分数阶扩散方程问题的简介，然后给出了分数阶微分方程数值计算方法的背景和发展。再介绍了一些Krylov子空间加速算法和预处理的相关知识和背景，最后交代了本文将要做的主要工作。第二章首先给出了本文所要用到的几种分数阶导数的定义，例如Caputo定义下的分数阶导数，Riemann-Liouville定义下的分数阶导数以及Grünwald-Letnikov定义下的分数阶导数。然后对本文将运用到的Kronecker的相关运算及性质、Toeplitz矩阵的相关计算和近似进行了说明，例如Toeplitz矩阵与向量的乘积等。第三章则是对二维分数阶扩散方程数值解的研究，首先对二维分数阶扩散方程在空间和时间方向上进行离散，然后详细介绍了对离散后的线性系统运用基于单参数Kronecker积分裂和双参数Kronecker积分裂迭代的预处理方法来加速的过程，并且对Kronecker积分裂迭代的收敛性进行了分析，给出了使得迭代次数最少的最佳参数。最后给出了数值实验证明该方法的正确性和有效性。第四章是在第三章的基础上将该预处理方法推广到三维分数阶扩散方程，并给出了具体的操作过程。分析了Kronecker积分裂迭代的收敛性，最后给出了三维的数值算例通过实验证明了该方法的正确性和有效性。第五章是对本文工作的总结和展望。

目录

1 绪论

1.1分数阶微分方题程问简介

1.2 分数阶微分方程的数值计算方法背景

1.3 Krylov子空间方法背景

1.4 本文的主要工作

2 预备知识

2.1 Caputo定义下的分数阶导数

2.2 Riemann-Liouville定义下的分数阶导数

2.3 Grünwald-Letnikov定义下的分数阶导数

2.4 Kronecker的相关性质

2.5 Toeplitz矩阵的相关计算

3 二维变系数分数阶扩散方程的预处理方法

3.1 二维变系数扩散方程的离散

3.2 单参数Kronecker积分裂预处理方法

3.2.1 Kronecker积分裂迭代

3.2.2 不动点迭代的收敛性分析

3.2.3 Krylov子空间加速

3.2.4 KPS预处理的相关操作及实现

3.3 双参数Kronecker积分裂预处理方法

3.3.1 Kronecker积分裂迭代

3.3.2 不动点迭代的收敛性分析

3.3.3 Krylov子空间加速及GKPS预处理

3.4 数值实验

3.5 本章小结

4 三维变系数分数阶扩散方程的预处理方法

4.1 三维变系数扩散方程的离散

4.2 双参数Kronecker积分裂预处理方法

4.2.1 Kronecker积分裂迭代

4.2.2 收敛性分析

4.2.3 Krylov子空间加速

4.2.4 GKPS预处理的实际操作与实现

4.3 数值实验

4.4 本章小结

5 总结与展望

5.1 总结

5.2 展望

参考文献

附录A: 作者攻读硕士学位期间发表论文及科研情况

致谢

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