黎曼流形上非线性方程解的梯度估计

摘要

本文讨论了黎曼流形上两类抛物型偏微分方程和一类非线性椭圆型偏微分方程解的梯度估计,我们将应用这些梯度估计来讨论方程解的其它性质。
　　 首先,本文给出了完备非紧黎曼流形M上的抛物方程ut=△u+Xu+hu的正解的整体梯度估计。该估计与M的维数n无关.这里X是任意非零C1向量场;h是定义在M×(0,4+∞)上的负函数,对于自变量x是C1函数.作为应用,我们将给出该方程解的Hamack估计,该估计与流形的维数n无关。
　　 其次,我们将讨论具有Bakry-Emery Ricci曲率的非紧完备黎曼流形M上的非线性扩散方程
　　 ut=△u+▽φ·▽u+a(x)ulnu+6(x)u的正解的Hamilton类型梯度估计,其中φ是-C2函数,a(x)和b(x)是非零的C1函数。我们得到该梯度估计与流形的维数无关。
　　 最后,我们将讨论具有光滑边界的紧流形M上的非齐次非线性椭圆方程的边界值问题。我们将应用极值原理来获得该问题的解的梯度估计。作为它们的应用,我们讨论了广义Laplacian算子的特征值问题。