GMANOVAモデルにおける直接的な罰則付推定法とその最適化

摘要

n個の個体において，各個体に対し経時的にp回測定して得られる経時測定データは，多くの応用分野で収集され分析されている.このようなデータの分析においては，データに潜hでいる経時的な変動（経時変動）を上手く推定することが目的の一つである.各個体での測定時点が全て揃っている場合，Potthoff and Roy (1964)で提案されたGMANOVAモデルを用い，このモデルの未知行列などを推定することで，経時変動が推定できる.このとき用いられるGMANOVAモデルは次の形のモデルである； Y =1_nμ′X′ + AΞX′ + ε, ここで，Yは各行が各個体の経時測定データからなるn×p行列，1_nはn次元1べクトル，μはq次元未知べクトル，Xは後述するように測定時点に関するp × g行列，Aは各行が各個体の性別などからなる測定時点に関わらない説明変数からなるn × k行列，Ξはk × q未知行列，εはn×p誤差行列である.本講演では，rank(X) = q, Aはrank(A) = kで中心化されている（つまりA′1_n=0_k,0_kはk次元ゼロべクトル）とし,E[ε] = 0_n0′_p, Cov[vec(ε)] = Σ(⊕)I_n, Σはrank(Σ) = pのp × p未知行列とする.このモデルにおいてXは，分析者が決めることができる行列である.例えば，i番目の測定時点をt_iとしてXのi行目を（1，t_i,t_i~2,…，t_i~(q-1))とすると，経時変動をt_iの（q-1)次多項式で推定することとなる.このとき，μやΞの推定量は，多項式を使って経時変動を推定する際に用いる切片や各次数の係数に対応している.また，経時変動が多項式で捉えられない複雑な曲線からなる場合でも，柔軟な関数を用いることで経時変動を推定できる.このとき，MやSの推定量は，経時変動を推定する際に用いる柔軟な関数に掛かる係数を推定していると考えることができる.AΞX′の部分は，これらの多項式や柔軟な関数の組み合わせにより得られる曲線を，各個体の性別などの説明変数の値Aを使った重み付和にすることで経時変動を推定していることに対応している.