中立軸の変形に着目したANCFせん断はり要素の定式化（全体座標系と要素座標系を併用した効率的な計算法）

摘要

複数の剛体や弾性体がジョイント等の拘束を介して連成した系の動力学問題の解析法としてマルチボディダイナミクスに関する研究が数多く報告されている．中でも絶対節点座標法（Absolute Nodal Coordinate Formulation，以下，ANC 法と呼ぶ．）による柔軟な構造物の定式化（Shabana et al. (1998)）が注目されており，はりや板などの大変形問題に関してその有効性が示されている（Dmitrochenko and Pogorelov (2003), Gerstmayr (2003), Omar andShabana (2001), Shabana and Yakoub (2001), Sugiyama et al. (2003), Yakoub and Shabana (2001)）．ANC 法の重要な特徴として，要素の節点座標に有限または微小回転角の代わりに変位勾配を用いる点が挙げられる．それにより質量行列が定数行列となり，慣性力に時間微分を含む非線形成分が含まれないということが動力学解析を行う上で極めて重要な利点となっている．一方で，弾性力は高次の非線形性を持つ関数形で与えられるため，それが数値計算上の課題となることが指摘されている．このことから，計算効率を改善するための研究が数多く報告されており，変形を簡易モデルによって表す手法（Berzeri and Shabana (2000)），モード合成法（Gerstmayr and Ambr´osio(2008), Kobayashi et al. (2011)）や要素ごとの節点座標を減らした定式化を用いることによって系の自由度を縮小する方法（Nachbagauer et al. (2011)）などが報告されている．こうした手法に共通しているのは，近似モデルの導入や形状関数の変更等を行い，計算精度を許容範囲内に保持した上で方程式の簡略化や自由度の低減等を行うことにより計算性を向上させている点にある．ANC 法による弾性力の扱い方としては，連続体力学的アプローチと呼ばれる変形量を全体座標系上で定義する定式化と要素座標系上で定義する定式化の2 種類の方法が提案されているが，上に挙げた文献が対象としているのは前者の定式化を対象としたものである．一方，後者の方法では要素座標系上で定義される変位を座標変換によって絶対座標系の変数に書き換える必要があるため，連続体力学的アプローチよりもはるかに非線形性の強い関数によって弾性力が表される．これにより計算の効率化以前の問題として運動方程式の導出自体が困難となっており，具体的に計算例が示されているのは二次元のEuler はりのみで，それ以上のモデルに関してはほとんど適用例が見られないのが現状である．この問題に対し著者らは，要素座標系と絶対座標系間に存在する代数関係式を拘束式として扱い，拘束系として運動方程式を導出することにより，理論的等価性を保持しつつ弾性力の関数形の複雑化を防ぎ，計算性の向上も可能になることを示している．（Hara andWatanabe (2018)）.