基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法

摘要

本发明提出了基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，对齿轮箱进行优化设计。核心方案为：建立优化数学模型，目标函数为齿轮箱中齿轮、轴的质量之和，计算齿轮弯曲疲劳强度的约束条件，轴强度的约束条件需要用到Neumann随机有限元，齿轮使用的网格采用二十节点六面体等参数单元，轴使用的网格采用轴对称四边形环形单元；采用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题，无约束优化问题采用Powell法求解；建立齿轮箱的优化数学模型，根据齿轮箱的优化数学模型。本发明的优化效果显著，齿轮箱质量下降，体积减小，原材料费用下降，提高了产品质量，使产品更具有竞争力。

说明书

技术领域

本发明涉及基于随机有限元对齿轮箱进行优化设计方法，属于机械设计、机械优化设计、机械现代设计方法领域。

背景技术

齿轮箱在机床，工程机械，冶金机械，矿山机械，石油机械，农业机械，车辆等领域有广泛的应用。随着计算机技术的发展，传统的机械设计方法取得了长足进步，产生了机械优化设计方法。国内外对很多机械产品及零部件进行了优化设计。机械可靠性设计把常规设计中的一些变量，如载荷、材料的强度、零部件的几何尺寸等，都作为随机变量处理，进行设计所依据的数据来自试验或实践，并经统计分析，考虑了工况变化及各种随机因素的影响。机械可靠性设计与优化设计相结合形成了可靠性优化设计，既能定量地预测产品的可靠性，又能使产品的设计参数获得优化解。机械可靠性设计仅能对简单零件进行设计。很多现代的结构系统具有很高的结构复杂度。在随机的载荷和工作环境下，先进的数值技术、著名的有限元方法被用来分析结构。绝大多数的应用被限制在确定的载荷和工作环境下，尽管随机和不确定的因素达到相当的程度。随机因素对结构的影响越来越受到国内外学者的重视。随着人类认识的深入，忽略随机性的有限元是不符合实际的。有限元分析要想提高计算精度，必须考虑随机因素的影响。考虑随机因素的有限元称为随机有限元。随机有限元的计算方法主要有直接Monte Carlo法，Taylor展开法，摄动法，Neumann展开法，Neumann－PCG法等。

目前，还没有出现基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法。

发明内容

本发明提出基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，对齿轮箱进行优化设计，使齿轮箱的重量减轻、提高了产品质量。

为此，本发明的技术方案如下：基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，包括如下步骤：

(1)齿轮使用的网格采用二十节点六面体等参数单元，轴使用的网格采用轴对称四边形环形单元；采用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题，无约束优化问题采用Powell法求解，计算齿轮弯曲疲劳强度的约束条件，轴强度的约束条件需要用到Neumann随机有限元，计算单元刚度矩阵，集成单元刚度矩阵为整体单元刚度矩阵，求解齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差、齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差、轴强度的许用均值和许用方差；

(2)建立齿轮箱的优化数学模型

设计变量为：齿轮模数、齿轮齿数、轴的直径、轴的长度；

约束条件为：齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差、齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差、轴强度的许用均值和许用方差；

目标函数为：齿轮箱中所有齿轮、轴的质量和；

从而立建立齿轮箱的优化数学模型；

(3)根据齿轮箱的优化数学模型，编写计算机运算程序，最后运行计算机运算程序获得最优解。

有益效果：本发明基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计优化，优化效果显著，优化后齿轮箱质量下降、体积减小，原材料费用下降，提高了产品质量，使产品更具有竞争力。

附图说明

图1是一种需要进行优化设计的齿轮箱结构图。

图2所示Neumann随机有限元计算齿轮弯曲应力的均值和方差的框图。

具体实施方式

通过以下内容，进一步详细描述本发明。

图1是一种需要进行优化设计的齿轮箱结构，有12个齿轮，4根轴，标号1-12表达的是齿轮，标号Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表达的是轴。

结合图1详细描述本发明，基于Neumann随机有限元对齿轮箱进行优化设计的方法，包括如下步骤：

(1)通过齿轮箱原始设计图纸的参数，利用三维建模软件构建齿轮箱的三维实体模型；

(2)将步骤(1)得到的齿轮箱的三维实体模型导入到有限元软件中，齿轮使用的网格采用二十节点六面体等参数单元，轴使用的网格采用轴对称四边形环形单元，生成有限元模型；采用惩罚函数法把约束优化问题转化为无约束优化问题，无约束优化问题采用Powell法求解，计算齿轮弯曲疲劳强度的约束条件，轴强度的约束条件需要用到Neumann随机有限元，计算单元刚度矩阵，集成单元刚度矩阵为整体单元刚度矩阵，求解齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差、齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差、轴危险截面应力的均值和方差、轴强度的许用均值和许用方差；

所述得到均值和方差函数的详细过程：

2.1.正态随机变量的模拟：只要产生12个均匀发布随机数，将它们相加起来，再减去6，就能近似地得到标准正态变量的样本值。

如果Z～N(0,1),利用X_i＝μ_i+σ_iZ,正态变量X_i可获得；

其中，～表示服从，表示均值μ_i，方差σ的正态分布；(机械零件材料性能参数，几何尺寸，受到的载荷被看着正态随机变量)

2.Neumann随机有限元

有限元的平衡方程可以通过刚度矩阵的逆矩阵得到

U＝K-¹F

U表示各个节点的位移列阵，K为整体刚度矩阵，F为各个节点的载荷列阵。

K分成两部分

K＝K₀+ΔK

其中K0＝均值部分，△K＝波动部分；

K-1的Neumann展开具有下列形式

U被下列级数代替

U＝U₀-PU₀+P²U₀-P³U₀+…

U＝U₀-U₁+U₂-U₃+…

这个级数的解等于下述递归方程

K₀U_i＝ΔKU_i-1，i＝1,2,...，n

单元d的应力为

{σ}＝[D][B]{δ^d}

[D]为弹性矩阵，[B]为应变矩阵，{δ^d}为结点位移列阵。

随机变量的N₁个样本值代入上式,矢量{σ}₁,{σ}₂,…,{σ}_N可以得到；

{σ}的均值为

{σ}的方差为

图2表达的是Neumann随机有限元计算齿轮弯曲应力的均值和方差的过程；

(3)建立齿轮箱的优化数学模型

图1中的齿轮箱由12个齿轮和4根轴组成；

为了清楚表达下述函数，把图1中标号Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表达的是轴用1、2、3、4替代；

设计变量为：x＝(m1，z1，z2，m2，z3，z4，m3，z5，z6，m4，z7，z8，m5，z9，z10，m6，z11，z12，b1，b2，b3，b4，d1，l1，d2，l2，d3，l3，d4，l4)T，

其中，m为齿轮模数，Z为齿轮齿数，d为轴的直径，l为轴的长度；

目标函数为：齿轮箱中所有齿轮、轴的质量和；具体为：

其中ρ为材料密度；

约束条件为

其中，为齿轮弯曲疲劳应力的均值和方差。为齿轮弯曲疲劳强度的许用均值和许用方差。

其中，为轴危险截面应力的均值和方差，为轴强度的许用均值

和许用方差。

m_kl≤m_k≤m_ks>

z_kl≤z_k≤z_ks>

b_kl≤b_k≤b_ks>

d_kl≤d_k≤d_ks>

l_kl≤l_k≤l_ks>

其中,m_kl,z_kl,b_kl,d_kl,l_kl为设计变量下界值。m_ks,z_ks,b_ks,d_ks,l_ks为设计变量上界值；

(4)根据齿轮箱的优化数学模型，编写计算机运算程序，最后运行计算机运算程序获得最优解。

下表1是图1所示齿轮箱的原始设计与优化设计参数比较；

表1设计参数比较

m1m2m3m4m5m6z1z2z3z4z5z6z7z8z9原始设计444444184427433535313925优化设计33.53.53.544204128423535323827z10z11z12b1b2b3b4d1l1d2l2d3l3d4l4原始设计4119472525252550350502805034065290优化设计4019421822252745280462154829065240

从表1可以看出，优化效果十分显著，齿轮箱质量下降，体积减小，原材料费用下降，提高了产品质量。