基于扩张状态观测器非线性系统事件触发控制器设计方法

摘要

本发明属于控制器设计领域，为减少扩张状态观测器的采样点，有效地节约网络带宽资源，降低网络通讯压力，同时保证采用自抗扰控制的闭环系统的性能及稳定性，本发明将事件触发机制运用到控制器的设计中，基于扩张状态观测器非线性系统事件触发控制器设计方法，具体包括以下步骤：步骤1：建立如下单输入单输出的非线性系统模型： y ( n ) = f ( y , y · , ... , y ( n - 1 ) ) + b u - - - ( 1 ) ]]>（1）步骤2：为了估计系统的状态和(2)中定义的扩张状态，设计扩张状态观测器：步骤3：确定采样时刻ti步骤4：将在采样时刻ti采样得到的扩张状态观测器的状态传送给控制器。本发明主要应用于控制器设计场合。

说明书

技术领域

本发明属于控制器设计领域，具体讲，涉及一种利用事件触发原理采样扩张状态观测器 的状态，并利用该采样状态来设计控制器的方法。

背景技术

实际中的许多物理对象由于内部及外部的干扰，导致其具有很大的不确定性。鲁棒控制 及自适应控制的发展解决了许多这样的问题。然而，上述的控制方法可能使所设计的控制器 变得更加保守，于是韩京清等人提出了自抗扰控制技术。自抗扰控制技术是一种非传统的控 制策略，其设计原理类似于外模原理。在自抗扰控制的框架下，被控对象未知的动态特性被 当作对象的扩张状态，并且可以通过设计扩张状态观测器来估计。郭宝珠等人已经从理论上 证明，利用自抗扰技术及扩张状态观测器设计的控制器可以使闭环系统达到稳定。

目前的自抗扰控制器设计方法，基本上都是在固定周期的时刻点上采样扩张状态观测器 的状态并发送给控制器。上述周期性地采样并发送数据的方法简单、易于操作，但有时候会 造成大量通信资源的浪费。随着嵌入式微控制器在许多场合的广泛应用，如何充分利用嵌入 式处理器中极其有限的资源成为至关重要的问题。对于资源受限的嵌入式控制系统，周期性 地采样传输并执行控制任务不但浪费大量通信带宽，增加网络传输压力，导致网络延时与丢 包，还占用了CPU的计算资源，对有实时性要求的控制任务造成不利影响，从而可能影响到 整个控制系统的性能甚至稳定性。

相比于周期性采样的时间触发策略，事件触发策略只需要在某一预先设定的事件条件发 生时才进行采样传送，并且控制系统的性能与时间触发下的系统性能相似。通过选择合适的 事件条件，事件触发策略显著地减少了采样点，从而有效地节约了网络带宽资源。虽然已有 大量关于事件触发策略的研究工作，但到目前为止，还没有如何将事件触发策略运用到自抗 扰控制技术中的讨论。因此，设计一种采用事件触发策略的自抗扰控制器是具有很强的理论 与现实意义的。

发明内容

为了减少扩张状态观测器的采样点，有效地节约网络带宽资源，降低网络通讯压力，同 时保证采用自抗扰控制的闭环系统的性能及稳定性，本发明将事件触发机制运用到控制器的 设计中，基于扩张状态观测器非线性系统事件触发控制器设计方法，具体包括以下步骤：

步骤1：建立如下单输入单输出的非线性系统模型：

$y^{\left(n\right)}=f(y,\stackrel{·}{y},\mathrm{...},y^{(n-1)})+bu---\left(1\right)$

其中y为被控输出，u为控制输入，b为给定常数，为y的一阶导数，y⁽ⁱ⁾表示y的i 阶导数，i＝2,...,n-1,n，将定义为f，f是一阶连续可微函数，代表被 控对象的非线性动态，另外，f应满足f(0)＝0；

公式(1)表示的模型改写为下面的状态空间形式：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{x}}_{n-1}=x_n\\ {\stackrel{·}{x}}_n=x_{n+1}+bu\\ {\stackrel{·}{x}}_{n+1}=h\\ y=x_1\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中x_i定义为系统的状态，并用x＝[x₁,x₂,...,x_n]^T表示系统的状态向量，x_n+1＝f为 系统的扩张状态，表示x_i的一阶导数，并且定义即h为f的一阶导数；

步骤2：为了估计系统的状态和(2)中定义的扩张状态，设计下面的扩张状态观测器：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+{ϵ}^{n-1}{g}_1\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3+{ϵ}^{n-2}{g}_2\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_n={\hat{x}}_{n+1}+g_n\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)+bu\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_{n+1}={ϵ}^{-1}{g}_{n+1}\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中表示系统状态x_i的估计值，表示系统扩张状态x_n+1的估计值，定义 为扩张状态观测器的状态向量，ε是一个正常数，非线性函数g_i的选取 需要保证当ε→0时，扩张状态观测器的状态收敛于系统的状态；

步骤3：确定采样时刻t_i，定义采样误差e(t)为：

$e\left(t\right)=C_0\left|\right|\hat{x}\left(t\right)-\hat{x}\left(t_i\right)\left|\right|+\left|\right|{\hat{x}}_{n+1}\left(t\right)-{\hat{x}}_{n+1}\left(t_i\right)\left|\right|$

其中C₀的选取与接下来步骤4中所设计的控制器相关，表示t时刻系统状态x_i的估 计值，通过选取合适的触发阈值γ(t)，并假设第一个采样时刻为t₀，得到一系列触发时刻：

t_i+1＝inf{t>t_i|e(t)≥γ(t)}

其中i为自然数，inf{}表示下确界；

步骤4：将在采样时刻t_i采样得到的扩张状态观测器的状态传送给控制器，控制器端利用 该采样值计算出执行器的输出，即被控系统的控制输入：

其中是李普希兹函数，其李普希兹常数为C₀，的选取需满足且保 证无扰动系统是渐近稳定的。

刚开始时取较大的触发阈值，使得在初始时刻不因为观测器状态变化过快而导致频繁触 发，从而节约通信带宽；而系统基本稳定后，采样误差e(t)的变化随着观测器状态的稳定而 变慢，此时选取较小的触发阈值，以使得系统状态收敛到离原点更近的区域内；也就是说， 将触发阈值选取为逐渐递减的函数。

采用指数递减的函数作为触发阈值函数。

与已有技术相比，本发明的技术特点与效果：

本发明所提出的事件触发方法只需要在扩张状态观测器部分对当前值观测值与上一次采 样值做比较，只有当采样误差超过预先给定的触发阈值时，观测器才需要把当前采样值发送 给控制器。控制器则利用该采样值计算并更新执行器的输出，在没有接收到观测器发来的采 样值的其余时间内，执行器的输出保持不变即可。

与传统周期采样的自抗扰控制方法相比，事件触发的方法只需要在当前值与上一时刻采 样值的误差超过一定范围，即系统状态变化较大时才进行采样传送，因此可以极大的减少采 样次数。尤其是对于恒值控制系统，当系统稳定以后，周期性采样得到的值基本相同，控制 器的输出也基本保持不变，此时进行周期性的采样传送显然将浪费大量的网络资源。除了节 省网络带宽资源，由于控制器端只需要在接收到采样值时进行计算并更新执行器输出，因此 也减少了对控制器端CPU资源的占用，提高了系统处理其他任务的实时性，同时降低了执行 器的更新频率，有助于减少执行器磨损，提高执行器寿命。

需要注意的是，运用本发明所提出的事件触发自抗扰控制，闭环系统最终只能稳定到一 个有界区域，但是只要触发阈值选取的足够小，并选取适当的扩张状态观测器参数，就可以 让系统状态稳定到一个任意小的区域内，这样的小区域稳定在实际中通常是可接受的。另外， 观测器部分进行比较，需要占用部分硬件或软件资源，但对于通信资源受限的系统来说，节 约有限的通信资源更为重要，并且事件触发方法也减轻了控制器端的负担。

附图说明

图1为闭环控制系统结构图。

图2为事件触发单元工作流程图。

图3为事件触发单元工作原理图。

图4为控制器设计流程图。

具体实施方式

本发明所采用的控制器设计方案是利用事件触发条件达到时向控制器传送此时扩张状态 观测器的采样值，然后通过控制器端计算更新执行器的输出，从而使得整个闭环系统达到稳 定。这样一方面节省了网络带宽资源，另一方面也减轻了控制器的计算负担和降低执行器的 更新频率。具体实现方式为：首先建立系统的非线性模型，该模型为积分链形式，并将其转 化为状态空间模型，然后设计相应的扩张状态观测器；在此基础上设计合适的触发条件，只 有当触发条件满足时才采样并发送观测器状态，控制器用该采样值计算并更新执行器输出， 从而完成系统的控制任务。

为了更清楚地说明本发明的目的、技术方案及优点，以下从模型建立，设计原理，设计 方法等几个方面来对本发明作进一步解释说明。应当理解，此处所描述的具体设计方法仅仅 用以解释本发明，并不用于限定本发明。

基于扩张状态观测器的一类非线性系统的事件触发控制，具体步骤如下。

步骤1：建立如下单输入单输出的非线性系统模型：

$y=f(y,\stackrel{·}{y},\mathrm{...},y^{(n-1)})+bu---\left(1\right)$

其中y为被控输出，u为控制输入，b为给定常数为y的一阶导数， y⁽ⁱ⁾(i＝2,...,n-1,n)表示y的i阶导数。我们简单的将定义为f，它是一 阶连续可微函数，代表被控对象的非线性动态，并且有可能是未知的。也就是说，被控系统 必需是可以表示为积分链形式的系统，并且f需要满足f(0)＝0。

公式(1)表示的模型可以改写为下面的状态空间形式：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1=x_2\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{x}}_{n-1}=x_n\\ {\stackrel{·}{x}}_n=x_{n+1}+bu\\ {\stackrel{·}{x}}_{n+1}=h\\ y=x_1\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中x_i(i＝1,2,...,n)定义为系统的状态，并用x＝[x₁,x₂,...,x_n]^T表示系统的状态向 量，x_n+1＝f为系统的扩张状态，表示x_i的一阶导数，并且定义即h为f的一阶导数。

步骤2：为了估计系统的状态和(2)中定义的扩张状态，我们设计下面的扩张状态观测器：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+{ϵ}^{n-1}{g}_1\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3+{ϵ}^{n-2}{g}_2\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_n={\hat{x}}_{n+1}+g_n\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)+bu\\ {\stackrel{·}{\hat{x}}}_{n+1}={ϵ}^{-1}{g}_{n+1}\left(\frac{x_1-{\hat{x}}_1}{{ϵ}^n}\right)\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中表示状态系统x_i的估计值，表示系统扩张状态x_n+1的估计值， 定义为扩张状态观测器的状态向量，ε是一个正常数，非线性函数g_i的 需要后面的条件A2)。

定义扩张状态观测器观测得到的状态估计值与系统状态的误差为：

$\left(\begin{array}{cc}{\eta }_i=\frac{x_i-{\hat{x}}_i}{{ϵ}^{n+1-i}},& i=1,2,\mathrm{...},n+1\end{array}\right)$

由系统(2)和扩张状态观测器(3)可以得到下面的误差系统方程：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\eta }}_1=\frac{{\eta }_2-g_1\left({\eta }_1\right)}{ϵ}\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{·}{\eta }}_n=\frac{{\eta }_{n+1}-g_n\left({\eta }_1\right)}{ϵ}\\ {\stackrel{·}{\eta }}_{n+1}=\frac{ϵh-g_{n+1}\left({\eta }_1\right)}{ϵ}\end{array}\right)---\left(4\right)$

对于上述误差系统，如果存在正定的连续可微函数V₁和W₁，以及正常数λ₁、λ₂、λ₃、λ₄和β₁，使得下面的条件满足：

A1)λ₁||η||²≤V₁(η)≤λ₂||η||²,λ₃||η||²≤W₁(η)≤λ₄||η||²

A2)

A3)

并且存在正整数k及正常数a_j(j＝0,1,2,...,n)，使得连续可微函数f满足以下不等式：

B)

则可以证明在系统状态有界(实际中总是满足)的情况下，对于任意一个给定的界σ'>0， 总存在一个正数ε₀，使得只要我们选取ε∈(0,ε₀)，误差状态总能收敛到原点的σ'邻域内， 即||η||≤σ'。简言之，当ε→0时，扩张状态观测器的状态收敛于系统的状态。具体证明过 程中可以选取李雅普诺夫函数为V₁(η)，由A1)可知V₁(η)是正定且递减的，然后对李雅普诺 夫函数V₁(η)求导并利用A1)-A3)和B)可以证明，V₁(η)能收敛到一个与ε成正比的界内，同 样||η||也将收敛到一个与ε成正比的界内，从而只要将ε取得足够小，||η||就能收敛到足够 接近于0的区域内。因此，在实际中可以视为扩张状态观测器的状态收敛于系统的状态。

假设B)在输入、扰动有界的情况下是自然满足的，因此扩张状态观测器的设计关键在于 选取适当的g_i使得假设A1)-A3)满足，对于足够小的正数ε，这样设计的扩张状态观测器能 够使得其状态收敛于系统的状态。

步骤3：确定采样时刻t_i。定义采样误差e(t)为：

$e\left(t\right)=C_0\left|\right|\hat{x}\left(t\right)-\hat{x}\left(t_i\right)\left|\right|+\left|\right|{\hat{x}}_{n+1}\left(t\right)-{\hat{x}}_{n+1}\left(t_i\right)\left|\right|---\left(5\right)$

其中C₀的选取与接下来步骤4中的所设计的控制器相关。通过选取合适的触发阈值γ(t) (其需要满足的条件也将在步骤4中说明)，并假设第一个采样时刻为t₀，可得一系列触发时 刻：

t_i+1＝inf{t>t_i|e(t)≥γ(t)}⑹

其中i为自然数，inf{}表示下确界。

步骤4：将在采样时刻t_i采样得到的扩张状态观测器的状态传送给控制器，控制器端利用 该采样值计算出执行器的输出，即被控系统的控制输入：

其中是李普希兹函数，其李普希兹常数为C₀，即步骤3里所提到的误差函数中的 常量。的选取需使得且满足存在正定的连续可微函数V₂和W₂，以及正常数 λ₂₁、λ₂₂、λ₂₃、λ₂₄和β₂，使得下面的条件成立：

C1)λ₂₁||x||²≤V₂(x)≤λ₂₂||x||²,λ₂₃||x||²≤W₂(x)≤λ₂₄||x||²

C2)

C3)

其中假设C1)和C2)表明无扰动系统是渐近稳定的(可以通过选取V₂(x)为李雅普 诺夫函数证明)。

通过选取满足上述假设的控制器，闭环系统的状态将半全局收敛于原点附近的某个邻域， 从而得到下面的定理。

定理1：对于非线性系统(1)，设计扩张状态观测器(3)和事件触发控制器(7)，使得假设 A1)-A3)、B)以及C1)-C3)均成立，采样误差和采样时刻的定义如(5)和(6)所示，则对于任意给 定的正数σ和初始状态x₀，必然存在一个正数ε₁，对于任意的ε∈(0,ε₁)，只要触发阈值γ(t) 的上确界ρ满足则系统状态总能收敛到原点的σ邻域内，即||x||≤σ。简言之， 只要ε和ρ选得足够小，系统状态将收敛到足够接近原点的区域内。

定理1可以通过选取闭环系统的李雅普诺夫函数为V₂(x)来证明。利用假设C1)-C3)及步 骤2中得到的观测器状态收敛于系统状态的结论，得到V₂(x)的导数在原点的σ邻域外严格 递减的结论，从而证明系统状态总能收敛到原点的σ邻域内，即||x||≤σ。

如果将触发阈值γ(t)的上确界ρ选取为0，即γ(t)≤0，定理1退化为理想情况下连续 采样的结果，这样的控制器也能完成使系统状态收敛的任务，但在实际中连续采样一般采用 等间隔时间采样的形式，其对通信带宽的占用一般要远远大于本发明中采用的事件触发形式 的控制策略。

在刚开始时，由于扩张状态观测器的状态变化比较快，此时采样误差e(t)的变化也比较 快，如果选取较小的触发阈值，将导致频繁触发，从而占用大量的通信带宽并使得执行器频 繁更新，与本发明的目的相违背。因此，刚开始时应选取较大的触发阈值。而系统基本稳定 后，采样误差e(t)的变化也随着观测器状态的稳定而变慢，此时可以选取较小的触发阈值， 以使得系统状态收敛到离原点更近的区域内。综上所述，触发阈值选取为逐渐递减的函数控 制效果较好，比如采用指数递减的函数作为触发阈值函数即可满足要求。

以上所述的具体实施步骤，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说 明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的一般步骤而已，并不用于限制本发明，凡在本发 明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围 之内。