Gumbel's Identity, Binomial Moments, and Bonferroni Sums

摘要

Gumbel's Identity equates the Bonferroni sum S_(k,n) k = 0,1,2,..., n with the k-th binomial moment of the number of events M_n which occur, out of n arbitrary events. We provide a unified treatment of familiar probability bounds on a union of events by Bonferroni, Galambos-Renyi, Dawson-Sankoff, and Chung-Erdos, as well as less familiar bounds by Frechet and Gumbel, all of which are expressed in terms of Bonferroni sums, by showing that all these arise as bounds in a more general setting in terms of binomial moments of a general non-negative integer-valued random variable. Use of Gumbel's Identity then gives the inequalities in familiar Bonferroni sum form. This approach simplifies existing proofs. It also allows generalization of the results of Frechet and Gumbel to give bounds on the probability that at least t of n events occur for any 1 ≤ t ≤ n. A further consequence of the approach is an improvement of a recent bound of Petrov which itself generalizes the Chung-Erdos bound.%L'identité de Gumbel établit l'égalité de la somme de Bonferroni S_(k,n), k = 0, 1, 2,..., n et du moment binomial d'ordre k de la variable qui compte, dans un ensemble arbitraire de n événements, le nombre M» d'événements se réalisant. Nous présentons un traitement unifié de bornes bien connues obtenues dans ce contexte par Bonferroni, Galambos-Rényi, Dawson-Sankoff et Chung-Erdôs, ainsi que de quelques bornes moins connues établies par Fréchet et Gumbel. Toutes font intervenir des sommes de Bonferroni. Notre démarche consiste à montrer que ces bornes apparaissent dans un cadre plus général comme les moments binomiaux d'une variable aléatoire à valeurs entières particulière. L'application de l'identité de Gumbel fournit alors la forme usuelle en termes de sommes de Bonferroni. Notre approche simplifie les preuves existantes, et permet d'étendre les résultats de Fréchet et Gumbel au cas de la probabilité pour qu'au moins t, 1 < t < n des n événements considérés se réalisent. Une dernière conséquence de notre approche est l'amélioration d'une borne de Petrov qui elle-même est la généralisation de la borne de Chung et Erdôs.