基于Bernstein多项式的两点线性奇异边值问题数值解研究

摘要

两点奇异边值问题在应用数学和物理学领域的应用非常广泛，比如:气体动力学、核物理、化学反应、原子结构、原子计算、非线性椭圆方程正径向解研究，生理学研究，稳态氧气在一个球形细胞扩散的研究和热源在人头部分布等方面。寻求准确并有效的数值方法解常微分方程的两点奇异边值问题是非常必要的。因而，两点奇异边值问题不同数值解法的研究激发了学者们浓厚的兴趣，并开展了大量的研究工作。
　　本文第一章简单介绍了两点奇异边值问题的发展历史。目前，已经有很多学者对有限差分之后的奇异两点边值问题的离散变量数值解进行研究，本文也引用这些文章作为参考文献。
　　第二章，详细介绍了线性两点边值问题的几种数值解法。首先，讨论了样条解法。众所周知，样条法与有限差分法相比有其自身优势。比如，只要计算出样条解，那么就可以顺利的得到插值于样条解的信息。其中，有一点特别重要，那就是要保证边值问题的解在区间[0，1]内的每点都存在。在论文中，详细综述了用三次样条法、四次B样条法、二次样条有限差分法、参数样条有限差分法来构造线性正则两点边值问的数值解。其次，总结了基于Chebyshev简约化求解（正则）线性两点奇异边值问题的数值解法。它的思路主要是在奇点x=0的邻域（0，δ）内使用级数展开来去除奇异点，然后利用任意的数值解法解决区间（δ，1）上的正则边值问题。
　　第三章，总结了非线性两点奇异边值问题的三种数值解法，Adomian分解方法和分解方法改进的分解方法以及泰勒级数解法。
　　第四章，提出了一种用Bernstein多项式来构造线性奇异两点边值问题的数值解方法。该方法不需要事先对方程进行非奇异化，且若方程的精确解为多项式时，利用这种方法可得方程的精确解。通过数值实例与已有方法结果的比较，说明了所给方法的可靠性和有效性。
　　最后一章，做出研究的总结并展望进一步的研究工作和方向。

目录

声明

致谢

摘要

第一章 绪论

1．1 两点奇异边值问题的发展历史

1．2 线性两点奇异边值问题的研究

第二章 线性两点奇异边值问题的一些数值解法

2．1 样条解法

2．1．1 三次样条法

2．1．2 四次B样条法

2．1．3 二次样条有限差分法

2．1．4 参数样条有限差分法

2．2 Chebyshev简约化解法

2．2．1 Chebyshev简约化

2．2．2 Chebyshev简约化后三次样条解法

2．2．3 稳定中心差分法

第三章 非线性两点奇异边值问题的一些数值解法

3．1 Adomian分解法和改进的Adomian分解法

3．1．1 Adomian分解法

3．1．2 改进的Adomian分解法

3．2 泰勒级数解法

第四章 基于Bernstein多项式的数值解法

4．1 Bernstein多项式和Weierstrass第一逼近定理

4．2 基于Bernstein多项式的数值解法描述

4．3 实例与比较

第五章 总结与展望

5．1 全文总结

5．2 所存在的问题及展望

参考文献

攻读硕士学位期间的学术活动及成果情况