基于符号计算的非线性微分方程精确解及其可积性研究

摘要

本文将著名数学家吴文俊的数学机械化思想应用于非线性科学的构造性研究中，并以符号计算系统Maple为工作平台研究非线性偏微分方程的守恒可积性、对称可积性和精确解.主要建立了微分几何理论和微分方程之间的一种有机联系，系统地分析了两种mKdV方程的Painlevé性质，并分别给出了两种不同形式的二元和n元mKdV方程的共振点出现的规律.研究微分方程的精确解.本文还给出了一个用以构造一类非线性演化方程显式依赖于自变量的守恒律的算法.研究非线性演化方程的对称可积性.孤立子在几何上的守恒特性和对称的概念密切相关。 微分方程的对称群概念最早由挪威数学SophusLie提出，从不同的角度出发来设计可以在计算机代数系统上实现的用以构造非线性微分方程广义对称的直接的代数方法非常必要.幸运的是，从标度变换出发，根据广义对称的概念，利用Fréchet导数，即可给出简洁而有效的构造非线性演化方程的多项式形式广义对称的算法.基于上述算法，我们给出了Maple软件包GSymme1，GSymme2和GSymm3.它们分别用来构造非线性演化方程的显式依赖和不显式依赖于自变量的多项式广义对称以及非线性演化方程组的不显式依赖于自变量的多项式广义对称。

目录

文摘

英文文摘

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第一章绪论

§1.1数学机械化和计算机代数

§1.2微分方程精确解的求解方法及其研究

§1.3非线性演化方程可积性及其研究

§1.4本文的选题和主要工作

第二章几个微分方程的精确解构造

§2.1 WKI方程和mKdV方程的几何推导

§2.1.1 WKI方程和mKdV方程的几何推导

§2.1.2向量WKI方程和mKdV方程的几何推导

§2.2 WKI方程的相似约化及其相似解和无穷多守恒律

§2.2.1二元WKI方程的相似约化及其相似解

§2.2.2二元WKI方程的守恒律

§2.3多元mKdV方程的相似约化及其相似解和孤立波解

§2.3.1二元几何mKdV方程的相似约化及其相似解

§2.3.2二元mKdV方程的精确解析解

§2.3.3两类三元mKdV方程的精确解析解

§2.3.4两类多元mKdV方程的Painleve性质

§2.4 Fokker-Planck方程的势对称及其相似约化和相似解

§2.4.1势对称理论概要

§2.4.2 Fokker-Planck方程的势对称

§2.4.3 Fokker-Planck方程的相似解

§2.5本章小结

第三章非线性演化方程多项式守恒律构造算法和实现

§3.1微分方程守恒可积性理论和基本概念

§3.2非线性演化方程守恒律理论概述

§3.3非线性演化方程多项式守恒律构造算法及其实现软件包CONSLAW

§3.3.1确定方程中变量和微分项的权

§3.3.2确定秩为R的守恒密度的形式

§3.3.3确定秩为R的守恒密度的系数

§3.3.4确定秩为R的守恒流的形式

§3.4 CONSLAW应用实例（一）

§3.4 CONSLAW应用实例（二）

§3.5本章小结

第四章非线性演化方程显式依赖于自变量的多项式守恒律构造算法

§4.1显式依赖于自变量的多项式守恒律的构造算法概述

§4.2广义五阶KdV方程的显式依赖于x，t的多项式守恒律

§4.3广义七阶KdV方程的显式依赖于x，t的多项式守恒律

§4.4九阶KdV方程的显式依赖于x，t的多项式守恒律

§4.5本章小结

第五章非线性演化方程广义对称构造算法和实现

§5.1微分方程对称可积性理论和基本概念

§5.2非线性演化方程广义对称的构造算法及其实现软件包Gsymm

§5.3非线性演化方程广义对称软件包Gsymm计算实例

§5.4本章小结

第六章结束语

参考文献

攻读博士学位期间发表论文和科研情况

致谢