复合介质中时间分数阶热传导正逆问题及其应用研究

摘要

本文主要研究了一类复合介质中的时间分数阶热传导正逆问题。第一章简要介绍了分数阶微积分的发展史、定义、性质以及相关的积分变换和特殊函数，并简述了它的一些应用情况。二章中提出了一种三层复合介质中的时间分数阶热传导正问题并给出了其解析解、数值解。第三章研究了基于第二章的分数阶热传导模型的逆问题。基于Levenberg-Marquardt方法给出了能最好地模拟实验数据意义下的Caputo分数阶导数的最优值的参数估计方法，并结合实验数据求出了最优值，且对结果作出了分析。本研究分为三个部分：
　　第一章是预备知识:在§1.1中，介绍了分数阶微积分的发展简史，并给出了Riemann-Liouville(R-L)型分数阶微积分算子、Caputo型分数阶微分算子的定义和常用性质.在§1.2中，介绍了分数阶微积分的Laplace变换，特殊函数Mittag-Leffler函数的定义及其Laplace变换与积分公式。在§1.3中，则简要地介绍了分数阶微积分理论的应用。
　　第二章研究了一个在三层复合介质中的时间分数阶热传导问题.在§2.1中，简要介绍了复合介质中时间分数阶热传导正问题的研究现状.在§2.2中，提出了一类复合介质中的时间分数阶热传导正问题的数学模型，确定了其热传导控制方程:C0DγtTi(x,t)=Dγi(e)2Ti(x,t)/(e)x2， i=1,2,3;Li-1＜x＜Li，0＜γ≤1，t＞0，(1)以及其边界条件、初始条件.在§2.3中利用积分变换法，得到了该分数阶热传导模型正问题的解析解:Ti(x,t)=T0Eγ,1(0)N(0)+q0tEγ,2(0)/N(0)+∞∑n=1ψi,n(λn,x)[(T)0Eγ,1(-λ2ntγ)+q0tEγ,2(-λ2ntγ)]/N(λn),(2)并给出了极限情形γ=1对应的解析解表达式.§2.4中基于前人的工作，利用有限差分的方法给出了所研究的时间分数阶热传导问题的数值解.§2.5中利用实验数据对所提出的模型作了数值实验，并分析了结果.§2.6给出了该章的结论。
　　第三章研究了第二章中所提出的复合介质中时间分数阶热传导问题的逆问题.§3.1中，简要介绍了热传导逆问题和分数阶热传导逆问题的研究现状;§3.2中，给出了基于Levenberg-Marquardt(LM)方法的、能够最好地模拟实验数据意义下的Caputo分数阶导数最优值的参数估计方法.参数估计主要是依照LM迭代格式:γk+1=γk+((Xk)T Xk+μkI)-1(Xk)T(Y-Tk),(3)来进行的.为执行迭代格式，我们给出了确定衰减参数μk的方法.并为确定Jacobian矩阵Xk提出了控制方程为:(e)/(e)γ[C0DγtTi(x，t)]=Dγi(e)2Ji(x,t)/(e)xi，i=1,2,3;Li-1＜x＜Li，0＜γ＜1,t＞0.(4)的灵敏度问题.并利用有限差分的方法给出了其数值解.在§3.3中，我们利用实验数据，分别给出了两个实验案例中Caputo分数阶导数最优值的估计.结果显示，在Caputo导数值达到最优值时，时间分数阶热传导模型很好地模拟了实验数据.同时，还进行了参数估计的灵敏度分析.最后，第三章的结论在§3.4给出。

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 预备知识

§1．1 分数阶微积分简介

§1．2 积分变换与特殊函数简介

§1．3 分数阶微积分的应用简介

第二章 复合介质中的时间分数阶热传导正问题及其解

§2．1 引言

§2．2 数学模型

§2．3 正问题的解析解

§2．4 正问题的数值解

§2．5 数值实验与结果分析

§2．6 结论

第三章 复合介质中时间分数阶热传导逆问题及其解

§3．1 引言

§3．2 逆问题的描述与解法

§3．3 数值实验与结果分析

§3．4 结论

参考文献

致谢

个人简历

攻读学位期间所获奖励

攻读学位期间发表学术论文及科研工作情况