移动平面法的积分形式对一类非线性偏微分方程（组）的应用

摘要

本文分别在有界区域、无界外部区域和Rn空间的上半部分研究一类非线性偏微分方程（组）解的单调性对称性及在无界范围上解的Liouville型定理。
　　一般使用移动平面法研究解的单调性和对称性。传统的移动平面法适用于偏微分方程，需要用到微分方程的极值原理或标准的边界点引理这一类局部性质，然而对本论文所研究的非线性偏微分方程，并没有找到在相应区域上的极值原理，为了解决这一困难，我们使用移动平面法的积分形式来代替传统的移动平面法。首先，我们将这类非线性偏微分方程（组）转化为相应的积分方程（组）。这些积分方程（组）的解满足的性质同样也适用于相应的非线性偏微分方程（组）的解。然后应用移动平面法的积分形式研究所得到的积分方程（组）。
　　在第一章，我们主要是在有界区域上研究一类抽象的非线性偏微分方程解的单调性和对称性以及该有界区域的对称性。在第二章，主要研究在无界外区域上一类非线性偏微分方程组解的单调性和对称性。在第三章，主要研究在无界外区域上另一个相对较具体的非线性偏微分方程组解的单调性和对称性，从而进一步得到相应解所满足的Liouville型定理。在第四章，我们主要研究在Rn空间的上半部分一类分数阶偏微分方程组的解所满足的Liouville型定理。

目录

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Contents

摘要

Abstract

Prefaces

Chapter 1 The properties for the solutions to a class of the overdetermined equations on bounded domain

1．1 main results

1．2 proof of Theorem 1．1．1 and Theorem 1．1．2

1．3 Green’s function on a ball

1．4 Proof of Theorem 1．1．3

Chapter 2 The properties for the solutions to a class of the system of nonlinear partial differential equations on exterior domain

2．1 Main results

2．2 Proof of Theorem 2．1．1

2．3 Proof of Theorem 2．1．2

2．4 Proof of theorem 2．1．3

Chapter 3 The Liouville type theorem for a class of system of nonlinear partial differential equations on exterior domain

3．1 Main results

3．2 Preliminary lemmas

3．3 Proofs of Theorem 3．1．1

Chapter 4 Liouville theorems for a system of fractional Laplacian equation

4．1 Main results

4．2 Proof of Theorem 4．1．1．

4．3 Proof of Theorem 4．1．2

4．4 Proof of theorem 4．1．3

Bibliography

Acknowledgements

Further researches

Publications or Accepted Papers